有理数引数に対する再帰的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/14 06:38 UTC 版)
「ミンコフスキーの疑問符関数」の記事における「有理数引数に対する再帰的定義」の解説
単位区間内の有理数の場合、関数を再帰的に定義することもできる。 p/q と r/s が |ps − rq| = 1 を満たす（ファレイ数列の隣接する項である）既約分数である場合、次のようになる。 ? ( p + r q + s ) = 1 2 [ ? ( p q ) + ? ( r s ) ] {\displaystyle \operatorname {?} \left({\frac {p+r}{q+s}}\right)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {?} \left({\frac {p}{q}}\right)+\operatorname {?} \left({\frac {r}{s}}\right)\right]} 初期条件を次のように与えると ? ( 0 1 ) = 0 and ? ( 1 1 ) = 1 {\displaystyle \operatorname {?} \left({\frac {0}{1}}\right)=0\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {?} \left({\frac {1}{1}}\right)=1} ファレイ数列を F2、F3と順に求めることで、任意の有理数 x に対して ?(x) を計算することが可能になる。 pn−1/qn−1 と pn/qn が同じ連分数をそれぞれ n - 1 段、n 段で打ち切ったものとすると、行列 ( p n − 1 p n q n − 1 q n ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{n-1}&p_{n}\\q_{n-1}&q_{n}\end{pmatrix}}} の行列式は ±1 となる。このような行列は、2 × 2 行列で行列式が ±1 となる群 SL(2, Z) の元である。 この群は、モジュラー群に関係する。
※この「有理数引数に対する再帰的定義」の解説は、「ミンコフスキーの疑問符関数」の解説の一部です。
「有理数引数に対する再帰的定義」を含む「ミンコフスキーの疑問符関数」の記事については、「ミンコフスキーの疑問符関数」の概要を参照ください。
- 有理数引数に対する再帰的定義のページへのリンク
