有理数体上の楕円曲線の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/07/01 10:33 UTC 版)
「ハッセ・ヴェイユのゼータ函数」の記事における「有理数体上の楕円曲線の場合」の解説
E を有理数体上の楕円曲線とすると E のハッセ・ヴェイユのゼータ函数は次の形となる。 Z E , Q ( s ) = ζ ( s ) ζ ( s − 1 ) L ( s , E ) . {\displaystyle Z_{E,Q}(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(s,E)}}.} L ( s , E ) = ∏ p L p ( s , E ) − 1 . {\displaystyle L(s,E)=\prod _{p}L_{p}(s,E)^{-1}.} L p ( s , E ) = { ( 1 − a p p − s + p 1 − 2 s ) , if p ∤ N ( 1 − a p p − s ) , if p ∥ N 1 , if p 2 | N {\displaystyle L_{p}(s,E)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{if }}p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{if }}p\|N\\1,&{\text{if }}p^{2}|N\end{cases}}} ap = p + 1 −（E mod p の点の数） とする。N をちょうど割る素数 p （つまり、p は N を割るが、p2 は割らないような、このことは p || N と書く）に対し乗法的還元（英語版）を持ち、このとき E が p で分裂するかしないかに従い ap = ±1 とする。p2 が N を割るような素数のとき E は加法的還元（英語版）を持つ。
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