有理整数の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/16 01:32 UTC 版)
「3乗剰余の相互法則」の記事における「有理整数の場合」の解説
p を法とする3乗剰余とは、その3乗が p を法として合同な任意の数のことである。もし x についての合同式 x3 ≡ a (mod p) が整数解を持たないなら、a は p を法とする3乗非剰余であるという。 数論でよくあることだが、素数を法とするほうがより上手くいくことが多いため、この節では全ての p、q などの法は正の奇素数であると仮定する。まず初めに、素数 q が q ≡ 2 (mod 3) を満たすとき、すべての整数が3乗剰余であることに注意しよう。03 = 0 ≡ 0 (mod q) から、0は明らかに3乗剰余であるため、整数 x は q で割り切れないと仮定する。整数 n を q = 3n + 2 を満たすように取っておく。ここで、フェルマーの小定理より、任意の整数 x に対して、次の2つの合同式が成り立つ: x q ≡ x mod q , x q − 1 ≡ 1 mod q . {\displaystyle {\begin{aligned}x^{q}&\equiv x{\bmod {q}},\\x^{q-1}&\equiv 1{\bmod {q}}.\end{aligned}}} 2つの合同式を辺々掛けることで、x2q − 1 ≡ x (mod q) が得られる。さて、q = 3n + 2 であったから、次が成り立つ: x ≡ x 2 q − 1 = x 2 ( 3 n + 2 ) − 1 = x 6 n + 3 = ( x 2 n + 1 ) 3 mod q . {\displaystyle x\equiv x^{2q-1}=x^{2(3n+2)-1}=x^{6n+3}=\left(x^{2n+1}\right)^{3}{\bmod {q}}.} したがって、唯一の興味深いケースは法 p が p ≡ 1 (mod 3) を満たすときとなる。このとき、ゼロを除いた p を法とする剰余類は、それぞれが (p − 1) ⁄ 3個の要素を持つ3つの集合に分割される。e を何らかの（p を法として）3乗非剰余な元とするとき、その集合は以下のように明示的に分類できる: 3乗剰余な元からなる集合。 第一の集合の各元を e 倍して得られる元からなる集合。 第一の集合の各元を e2 倍して得られる元からなる集合。 この分割を表現する別の方法として、原始根を用いるものがある。すなわち: p を法とした原始根に対する指数が、3を法として0となるもの（3で割り切れるもの）。 p を法とした原始根に対する指数が、3を法として1となるもの。 p を法とした原始根に対する指数が、3を法として2となるもの。 である。群論のことばでは、第一の集合は乗法群 (Z ⁄ pZ)× の指数3の部分群であり、残り2つの和集合はその補集合である。
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