有理数の黄金進数表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 14:18 UTC 版)
非負の有理数は黄金進数表現として循環小数で表すことができる。実は、循環小数で表すことができるのは、通常の意味での有理数のみならず、Z[φ] の商体 Q ( ϕ ) = Q ( 5 ) := { a + b 5 ∣ a , b ∈ Q } {\displaystyle \mathbb {Q} (\phi )=\mathbb {Q} ({\sqrt {5}}):=\{a+b{\sqrt {5}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}} の元であり、またそれに限る。いくつか例を挙げる。 1/2 = 0.010 010 010 010…φ 1/3 = 0.00101000 00101000 00101000…φ √5 = 10.1φ 2+(1/13)√5 = 10.010 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000…φ Q(φ) の元の黄金進数表現が有限小数となることの証明は、通常の十進法の場合と同様である。実際、割り算を筆算で行った場合の余りの可能性は有限個しかないため、繰り返しのパターンが現れる。例えば、1/2 = 1/10.01φ = 100φ/1001φ の筆算は次のようになる。 0.0 1 0 0 1 ... ------------------------1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 ------- 1 0 0 0 0 1 0 0 1 ------- ... ここに、引き算が少々難しいが、10000φ = 1100φ = 1011φ より 10000φ - 1001φ = 10φ であることを用いている。 逆に、黄金進数表現で循環小数であるものが Q(φ) の元に限ることを見るには、循環小数の意味するところが、公比がφの冪である等比級数であることに注意すればよい。
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