有理数の体積を持つ曲線形状
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/29 12:11 UTC 版)
「方法 (アルキメデスの著書)」の記事における「有理数の体積を持つ曲線形状」の解説
『方法』の注目すべき点の1つは、アルキメデスが円柱の断面で定義される2つの図形を発見したことであるが、その図形は曲線的な境界を持つにもかかわらず体積に πが含まれない。これはこの研究の中心となる点である—幾何学的な立体の交点により定義された体積の間には非自明な有理数の関係があるように、ある種の曲線形状は定規とコンパスにより修正することができる。 アルキメデスはこのことを論文の冒頭で強調しており、読者に他の方法で結果を再現することを勧めている。他の例とは異なり、これらの図形の体積はアルキメデスの他の作品では厳密に計算されていない。パリンプセストの断片からは、詳細は保存されていないが、体積の厳密な境界線を証明するために形を刻んだり囲んだりした様子がみられる。 アルキメデスが考える2つの図形は、2つの円柱が直角に交わるものであり、(x, y, z)の領域は次に従う。 (2Cyl) x 2 + y 2 < 1 y 2 + z 2 < 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}<1\;\;\;y^{2}+z^{2}<1} 円形のプリズムの領域は次に従う。 (CirP) x 2 + y 2 < 1 0 < z < y . {\displaystyle x^{2}+y^{2}<1\;\;\;\;\;0<z<y.} どちらの問題も機械的方法では簡単な積分が得られるスライスがある。円形のプリズムの場合はx軸をスライスする。y-z平面上の任意のxにおける領域は、辺長 1 − x 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {1-x^{2}}}} で面積 1 / 2 ( 1 − x 2 ) {\displaystyle \scriptstyle 1/2(1-x^{2})} の直角三角形であり、総体積は (CirP) ∫ − 1 1 1 2 ( 1 − x 2 ) d x {\displaystyle \displaystyle \int _{-1}^{1}{1 \over 2}(1-x^{2})\,dx} となる。これは機械的方法で簡単に修正できる。それぞれの三角形の暗面に面積 x 2 / 2 {\displaystyle \scriptstyle x^{2}/2} の三角錐の断面をそれぞれ加えると、断面が一定のプリズムが均衡となる。 2つの円柱の交点の場合は、写本の中ではスライスが失われているが、残りの部分と並行して明白な方法で再構成することができる。x-z平面をスライス方向とすると、円柱の方程式は x 2 < 1 − y 2 {\displaystyle \scriptstyle x^{2}\,<\,1-y^{2}} かつ z 2 < 1 − y 2 {\displaystyle \scriptstyle z^{2}\,<\,1-y^{2}} となる。これはx-z平面において1辺の長さが 2 1 − y 2 {\displaystyle \scriptstyle 2{\sqrt {1-y^{2}}}} である正方形の領域を定義している。よって総体積は (2Cyl) ∫ − 1 1 4 ( 1 − y 2 ) d y . {\displaystyle \displaystyle \int _{-1}^{1}4(1-y^{2})\,dy.} となる。これは先に出てきた例と同じ積分である。
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