有理性とパラメータ化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/16 15:30 UTC 版)
V を K [ X 1 , … , X n ] {\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]} の素イデアル I=⟨f1, ..., fk⟩ で定義された次元 d のアフィン代数多様体とする。V が有理的ならば、 K ( U 1 , … , U d ) {\displaystyle K(U_{1},\dots ,U_{d})} の n + 1 個の多項式 g0, ..., gn が存在し、 f i ( g 1 / g 0 , … , g n / g 0 ) = 0 {\displaystyle f_{i}(g_{1}/g_{0},\ldots ,g_{n}/g_{0})=0} となる。言い換えると、多様体の有理パラメータ化 x i = g i g 0 ( u 1 , … , u d ) {\displaystyle x_{i}={\frac {g_{i}}{g_{0}}}(u_{1},\ldots ,u_{d})} が得られる。 逆に、そのような有理パラメータ化があると、 K ( U 1 , … , U d ) {\displaystyle K(U_{1},\dots ,U_{d})} への V の函数体の体準同型が存在する。しかしこの準同型は、必ずしも上への写像とは限らない。そのような上へのパラメータ化が存在する場合を、多様体は単有理的(unirational)という。リューロスの定理（以下を参照）は、単有理的な曲線は有理的であることを意味している。カステルヌオボーの定理は、標数がゼロのとき、全ての単有理的な曲面は有理曲面であることを言っている。
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