有理手術・整数手術とは? わかりやすく解説

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有理手術・整数手術

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2015/04/29 05:16 UTC 版)

デーン手術」の記事における「有理手術・整数手術」の解説

まず K を3次元球面 S3 内の結び目とし、 p , q を互いに素または片方が0でもう片方±1整数とする。 結び目 K の管状近傍英語版)として V をとる(これは結び目 K をほんの少しだけ太くしたものだと考えればよい)。こうすると、管状近傍は K を中心曲線とするトーラス体となる(ただしそのトーラス右図のように結ばれているかもしれない)。 ここで S3管状近傍境界であるトーラス面 T に沿って切る。つまり、 S3 を、S3 からV の内部取り除いた空間 S3/ Vo と V の2つ分けることを考える。このとき、この2つ空間境界としてトーラス面 T を共有していることになる。 次に切り分け2つ空間を、共有しているトーラス面 T 上の同相写像貼り合わせることを考える(つまりこれら2つ空間和集合で、同相写像写りあうような境界上の同士同一視して得られる商空間考える)。こうして得られ多様体を M としたとき、多様体 M は結び目 K に沿ったデーン手術得られた、という(できあがる多様体3次元球面を切るときに使った結び目貼り合わせるときに使った同相写像によってかわる)。絡み目に対すデーン手術場合は、各成分ごと切り貼りを行うことになる。 貼り合わせに使う写像として、∂(S3/ Vo) (=T) から ∂V (=T) への同相写像で、始集合 T のメリディアン曲線終集合 T の(p , q)型トーラス結び目に写すようなものを使うような手術を、結び目 K に沿った係数けいすうframing index) p/q の有理手術(ゆうりしゅじゅつrational surgery)という(なお、q = 0のときは係数∞と定めておく)。 絡み目 L に対して有理手術を行う場合は、各成分係数をつけておき、それぞれについて上で述べたような切り貼りを行う。以上から、絡み目 L と、その各成分対す係数 r = p/q を用意すれば、それに対応する有理手術定まることになる。 絡み目 L の全ての成分係数について q =1 のときは特に整数手術せいすうしゅじゅつinteger surgery)という。連結向き付け可能任意の3次元多様体は、3次元球面へのなんらかの整数手術で得ることができる(ただし一意には定まらない)。 各成分係数添えた絡み目をつき絡み目(framed link)とし、付き絡みに対して添えられた各整数係数としてその絡み目に沿った整数手術をすると考えると、整数手術付き絡み目によって表現される考えることができる。 また、整数手術は何本かのリボンアニュラス)によって表現するともできる。まず、係数 p の結び目 K に沿った整数手術場合考える。手術の際に貼り合わせ用い同相写像 f によってメリディアン写される先である(p ,1)型トーラス結び目は、そのトーラス中心曲線(つまり管状近傍をとる前の元々の結び目 K)に沿ってトーラスロンジチュード基準として) p 回だけまわりながら1周する結び目となる。つまり、この2つ結び目中心曲線トーラス結び目)を成分とする2成分絡み目を考えると、その絡み数は p となる。そこで、2つ成分両端境界とするリボン考える(ただしそのリボンひねられていたり結ばれていたりするかもしれない)。すると、このリボンはひねりの回数絡み数)として係数情報持っており、結ばれ方として元の結び目 K の情報持っているため、付き結び目かわりにこのリボン使って手術を表すことができる。 絡み目 L の場合も、同様にしてねじれた結ばれた絡まったりしている複数リボンとして手術表現することができる。リボン2つ境界である2成分絡み目を平行になるように平面射影した状態でリボン表現することもあり、これは黒板上の付けblackboard framingといわれる

※この「有理手術・整数手術」の解説は、「デーン手術」の解説の一部です。
「有理手術・整数手術」を含む「デーン手術」の記事については、「デーン手術」の概要を参照ください。

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