ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理とは？わかりやすく解説

ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理(Hirzebruch–Riemann–Roch theorem)とは、1954年にフリードリッヒ・ヒルツェブルフ(Friedrich Hirzebruch)により証明された高次元の複素代数多様体に対するリーマン・ロッホの定理の一般化である。この定理のさらなる一般化としてグロタンディーク・ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理（英語版）およびアティヤ＝シンガーの指数定理がある。

ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理の内容

コンパクトな複素多様体 X 上の任意の正則ベクトルバンドル E に対し、その層係数コホモロジーの次元の交代和

\chi (X,E)=\sum _{i=0}^{\dim _{\mathbb {C} }X}(-1)^{i}\dim _{\mathbb {C} }H^{i}(X,E)

を E のオイラー数とよぶ。ヒルツェブルフの定理は、オイラー数 χ(X, E) を E のチャーン類と X のトッド類（正確には X の接ベクトル束のトッド類）から計算できるという定理である。E のチャーン指標を ch(E) とし、X のトッド類を td(X) とすると、定理は

\chi (X,E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {td} (X)

と書ける。ここで、ch(E)td(X) は X のコホモロジー環における積で、このコホモロジー類と X の基本類とのペアリングを X 上での積分として書き表した。

リーマン・ロッホの定理

X が 1 次元の場合、すなわちリーマン面の場合、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理から古典的なリーマン・ロッホの定理である。E を X 上の階数 1 のベクトル束（すなわち直線束）とする。E に対応して曲線上の因子 (代数幾何学) D が存在して E = O(D) となる。これのチャーン指標は 1+D となる。またトッド類は 1 + c₁(T(X))/2 であり、T(X) が標準束の双対であることから、これは K を標準因子として 1 - K/2 となる。ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理から

h^{0}({\mathcal {O}}(D))-h^{1}({\mathcal {O}}(D))=\deg(D-{\frac {1}{2}}K)

となる。

しかし、h⁰(O(D)) は l(D) に一致し、セール双対性により h¹(O(D)) = h⁰(O(K − D)) = l(K − D) である。さらに、K の次数は g を曲線 X 種数として 2g - 2であるため、古典的なリーマン・ロッホの定理

\ell (D)-\ell (K-D)={\text{deg}}(D)+1-g

を得る。

ベクトルバンドル V に対し、チャーン指標は rank(V) + c₁(V) であるので、曲線のベクトルバンドルのヴェイユのリーマン・ロッホの定理

h^{0}(V)-h^{1}(V)=c_{1}(V)+{\text{rank}}(V)(1-g)

を得る。

曲面のリーマン・ロッホの定理

詳細は「曲面のリーマン・ロッホの定理」を参照

X を曲面とし、D を X 上の因子として直線束 E = O(D) のオイラー数を計算する。E のチャーン指標は ch(E) = 1+ D + D²/2 である。また X のトッド類は td(X) = 1 - K/2 + (K² + c₂(X))/12 となる。ここで K は X の標準因子で c₂(X) は X の接束の第2チャーン類をあらわす。このときヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理は、

$\chi ({\mathcal {O}}(D))={\frac {1}{2}}D(D-K)+{\frac {1}{12}}(K^{2}+c_{2}(X))$

である。ここで D = 0 とすると、ネターの公式

$\chi ({\mathcal {O}})={\frac {1}{12}}(K^{2}+c_{2}(X))$

を得る事ができ、上の式は

\chi ({\mathcal {O}}(D))=\chi ({\mathcal {O}})+{\frac {1}{2}}D(D-K)

と書く事もできる。

参考文献

Topological Methods in Algebraic Geometry by Friedrich Hirzebruch ISBN 3-540-58663-6

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