ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/09/24 01:54 UTC 版)
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コンパクトな複素多様体 X 上の任意の正則ベクトルバンドル E に対し、その層係数コホモロジーの次元の交代和 χ ( X , E ) = ∑ i = 0 dim C X ( − 1 ) i dim C H i ( X , E ) {\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{i=0}^{\dim _{\mathbb {C} }X}(-1)^{i}\dim _{\mathbb {C} }H^{i}(X,E)} を E のオイラー数とよぶ。ヒルツェブルフの定理は、オイラー数 χ(X, E) を E のチャーン類と X のトッド類（正確には X の接ベクトル束のトッド類）から計算できるという定理である。E のチャーン指標を ch(E) とし、X のトッド類を td(X) とすると、定理は χ ( X , E ) = ∫ X ch ( E ) td ( X ) {\displaystyle \chi (X,E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {td} (X)} と書ける。ここで、ch(E)td(X) は X のコホモロジー環における積で、このコホモロジー類と X の基本類とのペアリングを X 上での積分として書き表した。
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