リーマン・ロッホの定理
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リーマン・ロッホの定理（リーマン・ロッホのていり、英: Riemann–Roch theorem）とは、複素解析学や代数幾何学などで用いられる、閉リーマン面上の複素解析と曲面の種数とを結びつける定理である。特定の位数の零点と極をもつ有理型関数空間の次元計算に役立つ。
まず、ベルンハルト・リーマンがRiemann (1857)でリーマンの不等式(Riemann's inequality)を証明した。そして短い間ではあったが、リーマンの学生であったグスタフ・ロッホが、Roch (1865)で決定的な形に到達した。その後、この定理は代数曲線上や高次元代数多様体に一般化され、さらにそれを超えた一般化もなされている。
準備
リーマン面
次はトーラス C/Λ のような閉リーマン面の種数が g = 1 の場合である。ここで、Λ は2-次元の格子（群としては、 Z2 に同型）である。その種数は1であり、1次特異ホモロジー群は、右の図に示した2つのループにより自由に生成された群である。C 上の標準的な座標 z は、いたるところ正則（つまり、極を持たない）な X 上の1-形式 ω = dz を与える。したがって、標準因子 K は (ω) であり、ゼロである。
曲面上で、数列 
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- 小川裕之：「代数曲線の Riemann-Roch の定理」、第15回整数論サマースクール報告集,pp.15-60
関連項目
- 川崎のリーマン・ロッホの定理(Kawasaki's Riemann–Roch formula)
リーマン・ロッホの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/09/24 01:54 UTC 版)
「ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理」の記事における「リーマン・ロッホの定理」の解説
X が 1 次元の場合、すなわちリーマン面の場合、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理から古典的なリーマン・ロッホの定理である。E を X 上の階数 1 のベクトル束（すなわち直線束）とする。E に対応して曲線上の因子 (代数幾何学) D が存在して E = O(D) となる。これのチャーン指標は 1+D となる。またトッド類は 1 + c1(T(X))/2 であり、T(X) が標準束の双対であることから、これは K を標準因子として 1 - K/2 となる。ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理から h 0 ( O ( D ) ) − h 1 ( O ( D ) ) = deg ( D − 1 2 K ) {\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(D))-h^{1}({\mathcal {O}}(D))=\deg(D-{\frac {1}{2}}K)} となる。 しかし、h0(O(D)) は l(D) に一致し、セール双対性により h1(O(D)) = h0(O(K − D)) = l(K − D) である。さらに、K の次数は g を曲線 X 種数として 2g - 2であるため、古典的なリーマン・ロッホの定理 ℓ ( D ) − ℓ ( K − D ) = deg ( D ) + 1 − g {\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)={\text{deg}}(D)+1-g} を得る。 ベクトルバンドル V に対し、チャーン指標は rank(V) + c1(V) であるので、曲線のベクトルバンドルのヴェイユのリーマン・ロッホの定理 h 0 ( V ) − h 1 ( V ) = c 1 ( V ) + rank ( V ) ( 1 − g ) {\displaystyle h^{0}(V)-h^{1}(V)=c_{1}(V)+{\text{rank}}(V)(1-g)} を得る。
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