リーマン予想との関係とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

リーマン予想との関係

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/21 05:53 UTC 版)

「素数計数関数」の記事における「リーマン予想との関係」の解説

詳細は「リーマンの素数公式」を参照 1859年リーマンは、π(x) をゼータ関数の零点を用いて表す式を発見した。 π ( x ) = R ( x ) − ∑ ρ R ( x ρ ) {\displaystyle \pi (x)=R(x)-\sum _{\rho }R(x^{\rho })} ここで R ( x ) {\displaystyle R(x)} は、 R ( x ) = ∑ m = 1 ∞ μ ( m ) m li ⁡ ( x 1 m ) {\displaystyle R(x)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {\mu (m)}{m}}\operatorname {li} (x^{\tfrac {1}{m}})} と定義され、和の ρ はゼータ関数の全ての零点をわたる。また、リーマン予想と下の式が正しいことは同値である。 π ( x ) = li ⁡ ( x ) + O ( x ln ⁡ x ) {\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right)} また、 O {\displaystyle O} は、ランダウの記号である。また、リーマン予想が正しい場合、以下の式が成り立つことが知られている。 | π ( x ) − li ⁡ ( x ) | < 1 8 π x log ⁡ x , for all x ≥ 2657. {\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\log {x},\qquad {\text{for all }}x\geq 2657.}

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/31 07:10 UTC 版)

「巨大過剰数」の記事における「リーマン予想との関係」の解説

1980年代に、Guy Robinはリーマン予想が、次の不等式がすべての n > 5040 に当てはまるという主張と同じであることを示した。 σ ( n ) < e γ n log ⁡ log ⁡ n ≈ 1.781072418 ⋅ n log ⁡ log ⁡ n {\displaystyle \sigma (n) 5040 ごとのRobinの不等式保持と同じである。 2001-2002年に、Lagariasは、対数の代わりに調和数を使用して、例外を必要としない Robinの主張の代替形式を示した。 σ ( n ) < H n + exp ⁡ ( H n ) log ⁡ ( H n ) {\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+\exp(H_{n})\log(H_{n})} または、n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60の8個の例外を除いて、 σ ( n ) < exp ⁡ ( H n ) log ⁡ ( H n ) {\displaystyle \sigma (n)<\exp(H_{n})\log(H_{n})}

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