リーマン和による求積（区分求積法）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/15 03:58 UTC 版)
「円の面積」の記事における「リーマン和による求積（区分求積法）」の解説
関数 f ( x ) = r 2 − x 2 {\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}} を考えたとき、この関数は ( 0 ≤ x ≤ r ) {\displaystyle (0\leq x\leq r)} において連続であるからリーマン和による面積の計算が可能であり、それは上記の定積分と等しくなる。 f ( x ) = r 2 − x 2 {\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}} において、区間 [ 0 , r ] {\displaystyle [0,r]} を n分割する x 0 = 0 {\displaystyle x_{0}=0} 、 x n = r {\displaystyle x_{n}=r} 、 x k − 1 < x k ( k = 1 … n ) {\displaystyle x_{k-1}<x_{k}(k=1\ldots n)} をとり、区間 [ x k − 1 , x k ] {\displaystyle [x_{k-1},x_{k}]} における任意の点を ξ k {\displaystyle \xi _{k}} とすれば、四分円のリーマン和は、 S 4 = lim n → ∞ ∑ k = 1 n f ( ξ k ) ( x k − x k − 1 ) = lim n → ∞ ∑ k = 1 n r 2 − ξ k 2 ( x k − x k − 1 ) {\displaystyle S_{4}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(\xi _{k})(x_{k}-x_{k-1})=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {r^{2}-\xi _{k}^{2}}}(x_{k}-x_{k-1})} である。 ここで、分割方法をn等分とすれば、 x k − x k − 1 = r n {\displaystyle x_{k}-x_{k-1}={\frac {r}{n}}} であり、 ξ k = k r n {\displaystyle \xi _{k}={\frac {kr}{n}}} とおくと、 lim n → ∞ ∑ k = 1 n r 2 − ξ k 2 ( x k − x k − 1 ) = lim n → ∞ ∑ k = 1 n r 2 − ( k r n ) 2 r n = r 2 lim n → ∞ ∑ k = 1 n 1 n 1 − ( k n ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {r^{2}-\xi _{k}^{2}}}(x_{k}-x_{k-1})&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {r^{2}-({\frac {kr}{n}})^{2}}}{\frac {r}{n}}\\&=r^{2}\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}{\sqrt {1-({\frac {k}{n}})^{2}}}\\\end{aligned}}} さらに、 lim n → ∞ ∑ k = 1 n 1 n 1 − ( k n ) 2 = π 4 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}{\sqrt {1-({\frac {k}{n}})^{2}}}={\frac {\pi }{4}}} であるから、 S 4 = π r 2 4 {\displaystyle S_{4}={\frac {\pi r^{2}}{4}}} となって、 S = π r 2 {\displaystyle S=\pi r^{2}} を得る。
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