リーマン多様体のある領域がユークリッド空間である必要十分条件はリーマン曲率テンソルが0
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:11 UTC 版)
「リーマン曲率テンソル」の記事における「リーマン多様体のある領域がユークリッド空間である必要十分条件はリーマン曲率テンソルが0」の解説
リーマン多様体においては、ごく近い2点間の距離（線素） ds は、 d s = ∑ i , j g i j ( x ) d x i d x j {\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}(x)\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}}} で定義されるが、ここで、係数 gij(x) は、一般に座標 x = (xh) の関数である。一方、ユークリッド空間においては、直交座標系をとればごく近い2点間の距離 ds は d s = ∑ i , j δ i j d x i d x j {\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {\sum _{i,j}\delta _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}}} で与えられるが、直交座標系（xh）から曲線座標系（uh）へ座標変換を行えば、あらわれる係数 gij(u) は座標 u の関数となり、ds はリーマン多様体と同様の形式となる。ただし、これは見かけ上だけのことであり、もともとユークリッド空間であるので当然適当な座標系（この場合は元の直交座標系）をとれば gij(u) を全て定数（1または0など）にすることができる。一般にリーマン多様体の各点に与えられる基本計量テンソル gij(x) を定数にする座標変換は存在しないが、もしリーマン多様体の一部の領域について適当な座標変換により gij(x) を定数にすることができるのであれば、その領域はユークリッド空間に一致する。 したがって、 リーマン多様体の一部領域がユークリッド空間に一致⇔その領域における基本計量テンソル gij(x) を全部定数にする座標変換が存在する。 ここで、gij が全て定数であれば、クリストッフェル記号はその定義から明らかに0となる。逆にクリストッフェル記号が0であれば、リッチの補定理 ∇ k g i j = 0 {\displaystyle \nabla _{k}g_{ij}=0} から ∇ k g i j = ∂ g i j ∂ x k − ∑ a g a j { a i k } − ∑ a g i a { a j k } = ∂ g i j ∂ x k = 0 {\displaystyle \nabla _{k}g_{ij}={\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}-\sum _{a}g_{aj}\left\{{{a} \atop {ik}}\right\}-\sum _{a}g_{ia}\left\{{{a} \atop {jk}}\right\}={\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=0} となり、gij は全て定数となる。よって、 ある領域における基本計量テンソル gij(x) を全部定数にする座標変換が存在する ⇔ その領域においてクリストッフェル記号を全て0にする座標変換が存在する。 ここで、座標系（uh）がクリストッフェル記号を全て0にする座標系とすれば、クリストッフェル記号の変換公式より ∂ 2 u a ∂ x j ∂ x k = ∑ i ∂ u a ∂ x i { i j k } {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u^{a}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}=\sum _{i}{\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{i}}}\left\{{{i} \atop {jk}}\right\}} が得られる。両辺偏微分を行うと ∂ 3 u a ∂ x l ∂ x j ∂ x k = ∑ i ∂ 2 u a ∂ x l ∂ x i { i j k } + ∑ i ∂ u a ∂ x i ∂ { i j k } ∂ x l = ∑ b , i ∂ u a ∂ x b { b l i } { i j k } + ∑ i ∂ u a ∂ x i ∂ { i j k } ∂ x l {\displaystyle {\frac {\partial ^{3}u^{a}}{\partial x^{l}\partial x^{j}\partial x^{k}}}=\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}u^{a}}{\partial x^{l}\partial x^{i}}}\left\{{{i} \atop {jk}}\right\}+\sum _{i}{\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \left\{{{i} \atop {jk}}\right\}}{\partial x^{l}}}=\sum _{b,i}{\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{b}}}\left\{{{b} \atop {l\,i}}\right\}\left\{{{i} \atop {jk}}\right\}+\sum _{i}{\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \left\{{{i} \atop {jk}}\right\}}{\partial x^{l}}}} となる。 ∂ 3 u a ∂ x l ∂ x j ∂ x k = ∂ 3 u a ∂ x j ∂ x l ∂ x k {\displaystyle {\frac {\partial ^{3}u^{a}}{\partial x^{l}\partial x^{j}\partial x^{k}}}={\frac {\partial ^{3}u^{a}}{\partial x^{j}\partial x^{l}\partial x^{k}}}} から 0 = ∂ 3 u a ∂ x l ∂ x j ∂ x k − ∂ 3 u a ∂ x j ∂ x l ∂ x k = ∂ u a ∂ x b [ ∂ { b j k } ∂ x l − ∂ { b l k } ∂ x j + ∑ i { b l i } { i j k } − ∑ i { b j i } { i l k } ] = ∂ u a ∂ x b R j k l b {\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {\partial ^{3}u^{a}}{\partial x^{l}\partial x^{j}\partial x^{k}}}-{\frac {\partial ^{3}u^{a}}{\partial x^{j}\partial x^{l}\partial x^{k}}}\\&={\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{b}}}\left[{\frac {\partial \left\{{{b} \atop {jk}}\right\}}{\partial x^{l}}}-{\frac {\partial \left\{{{b} \atop {lk}}\right\}}{\partial x^{j}}}+\sum _{i}\left\{{{b} \atop {l\,i}}\right\}\left\{{{i} \atop {jk}}\right\}-\sum _{i}\left\{{{b} \atop {ji}}\right\}\left\{{{i} \atop {lk}}\right\}\right]\\&={\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{b}}}R_{jkl}{}^{b}\end{aligned}}} したがって、 R j k l b = 0 {\displaystyle R_{jkl}{}^{b}=0} 。
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