リーマン幾何の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/18 01:35 UTC 版)
M を（擬）リーマン多様体とし、γ: [0, 1] → M を M 内の曲線、g を（擬）リーマン計量テンソルとすると、曲線 γ の長さは ℓ ( γ ) = ∫ 0 1 ± g ( γ ′ ( t ) , γ ′ ( t ) ) d t {\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{0}^{1}{\sqrt {\pm g(\gamma '(t),\gamma '(t))}}\,dt} と定義される。ただし、γ’(t) ∈ Tγ(t)M は γ の t における接ベクトルであり、根号内の符号は与えられた曲線ごとに正方根が実数になることが保証されるほうを選ぶものとする。つまり、空間様曲線に対しては正の符号を、擬リーマン多様体の時間様曲線に対しては負の符号を選ぶことになる。 相対性理論における時間様曲線（世界線）の弧長は、世界線に沿って経過する固有時である。
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