リーマン幾何学における平行移動
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/07 16:37 UTC 版)
「平行移動 (リーマン幾何学)」の記事における「リーマン幾何学における平行移動」の解説
リーマン幾何学においては、ある接続が（その接続が定める）平行移動が計量テンソル( en:metric tensor)を保つときに、en:metric connectionと呼ばれる。 即ち、接続Γ が、任意の接ベクトルX, Y ∈ Tγ(s)に対して以下の条件を満たせば、metric connectionとしての資格がある: ⟨ Γ ( γ ) s t X , Γ ( γ ) s t Y ⟩ γ ( t ) = ⟨ X , Y ⟩ γ ( s ) . {\displaystyle \langle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}X,\Gamma (\gamma )_{s}^{t}Y\rangle _{\gamma (t)}=\langle X,Y\rangle _{\gamma (s)}.} t=0における微分を行う際に、対応する微分演算子∇ は、計量に対する積の微分法則、即ち Z ⟨ X , Y ⟩ = ⟨ ∇ Z X , Y ⟩ + ⟨ X , ∇ Z Y ⟩ . {\displaystyle Z\langle X,Y\rangle =\langle \nabla _{Z}X,Y\rangle +\langle X,\nabla _{Z}Y\rangle .} を満たさねばならない。
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