リーマン多様体の超曲面
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 02:24 UTC 版)
「第二基本形式」の記事における「リーマン多様体の超曲面」の解説
ユークリッド空間において、第二基本形式は次のように与えられる。 I I ( v , w ) = − ⟨ d ν ( v ) , w ⟩ ν {\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=-\langle d\nu (v),w\rangle \nu } ここで、 ν はガウス写像であり、 dν はベクトル値の微分形式と見なされる ν の微分であり、括弧はユークリッド空間の計量テンソルを表示している。 より一般的には、リーマン多様体では、第二基本形式は、超曲面の Sで示される形作用素（shape operator）を記述するための同等の方法である。 I I ( v , w ) = ⟨ S ( v ) , w ⟩ n = − ⟨ ∇ v n , w ⟩ n = ⟨ n , ∇ v w ⟩ n , {\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=\langle S(v),w\rangle n=-\langle \nabla _{v}n,w\rangle n=\langle n,\nabla _{v}w\rangle n\,,} ここで、∇vw は全体多様体（ambient manifold）の共変微分、n は超曲面上の法線ベクトル場を表示している。（アフィン接続に捩じれがない場合、第二基本形式は対称となる。 ） 第二基本形式の符号は、 n の方向の選択に依存する（これは超曲面の共方向（co-orientation）と呼ばれる。ユークリッド空間の曲面の場合、これは同様に曲面の向きの選択によって与えられる。）
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