リーマン多様体の体積形式とは? わかりやすく解説

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リーマン多様体の体積形式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/08/31 09:19 UTC 版)

体積形式」の記事における「リーマン多様体の体積形式」の解説

すべての向きつけられたリーマン多様体もしくは擬リーマン多様体は、自然な体積形式もしくは、擬体積形式)を持つ。局所座標英語版)(local coordinates)では、体積形式は、 ω = | g | d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n {\displaystyle \omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}} で表すことができる。ここに、 d x i {\displaystyle dx^{i}} は n-次元多様体余接バンドル向きつけられた基底もたらす微分 1-形式である。ここに、 | g | {\displaystyle |g|} は多様体計量テンソル行列表現したときの行列式絶対値である。 体積形式次のようにも表される。 ω = v o l n = ε = ∗ ( 1 ) . {\displaystyle \omega =\mathrm {vol} _{n}=\varepsilon =*(1).\,\!} ここでは、∗ はホッジ双対であるので、最後右辺の形 ∗(1) は、体積形式多様体上の定数写像ホッジ双対であることを意味していて、レヴィ・チヴィタテンソル ε {\displaystyle \varepsilon } に等しい。 ギリシャ文字の ω はここでは体積形式を表すことに使われている。シンボルの ω は微分幾何学では、他に多くの意味持っている(たとえば、シンプレクティック形式)。

※この「リーマン多様体の体積形式」の解説は、「体積形式」の解説の一部です。
「リーマン多様体の体積形式」を含む「体積形式」の記事については、「体積形式」の概要を参照ください。

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