リーマン多様体への一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:29 UTC 版)
「ヘッセ行列」の記事における「リーマン多様体への一般化」の解説
( M , g ) {\displaystyle (M,g)} をリーマン多様体とし、 ∇ {\displaystyle \nabla } をそのレビ・チビタ接続とする。 f : M → R {\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} } を滑らかな関数とする。すると、ヘッセテンソル Hess ( f ) ∈ Γ ( T ∗ M ⊗ T ∗ M ) {\displaystyle \displaystyle {\mbox{Hess}}(f)\in \Gamma (T^{*}M\otimes T^{*}M)} を Hess ( f ) := ∇ ∇ f = ∇ d f {\displaystyle {\mbox{Hess}}(f):=\nabla \nabla f=\nabla df} により定義することができる。ここに、関数の一階共変微分は通常の微分と同じであることを活用する。局所座標 { x i } {\displaystyle \{x^{i}\}} をとると、ヘシアンは次の式で局所的に表すことができる。 Hess ( f ) = ∇ i ∂ j f d x i ⊗ d x j = ( ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j − Γ i j k ∂ f ∂ x k ) d x i ⊗ d x j . {\displaystyle {\mbox{Hess}}(f)=\nabla _{i}\,\partial _{j}f\ dx^{i}\!\otimes \!dx^{j}=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}\right)dx^{i}\otimes dx^{j}.} ここに Γ i j k {\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}} は接続のクリストッフェル記号である。ヘシアンの他の同値な形が以下で与えられる。 Hess ( f ) ( X , Y ) = ⟨ ∇ X grad f , Y ⟩ , {\displaystyle {\mbox{Hess}}(f)(X,Y)=\langle \nabla _{X}{\mbox{grad}}f,Y\rangle ,} Hess ( f ) ( X , Y ) = X ( Y f ) − d f ( ∇ X Y ) . {\displaystyle {\mbox{Hess}}(f)(X,Y)=X(Yf)-df(\nabla _{X}Y).}
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