双有理幾何学
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/28 14:50 UTC 版)
代数幾何学では、双有理幾何学(birational geometry)の目標は、2つの代数多様体が（多様体の次元）より低い次元の部分を除き、どのようなときに同型となるかを決定することである。このことは、多項式というよりも、有理函数により与えられる写像を研究することを意味し、有理函数が極を持つところでは(写像を）定義できないことがある。
- ^ ネフ：すべての曲線 C ⊂ X に対して (L.C)≧0 が成り立つようなラインバンドル L のこと数値的正(ネフ）という、標準バンドル KX がネフであるような代数多様体のことを極小と呼ぶ。 繰り返しになるが、代数多様体上のラインバンドルは、多様体の任意の代数曲線への制限の次数が非負のときに、ネフ(nef)("numerically effective" もしくは "numerically eventually free" を短くした)と呼ばれる。 特にすべての豊富なラインバンドル(ample line bundle)はネフである。 同様に、代数多様体 X 上のカルティエ因子 D な次が成り立てば、ネフである。X の中に含まれる任意の代数曲線 C に対して、交点理論の意味で、
- ^ Kollár and Mori, Birational Geometry of Algebraic Varieties (1998), Theorem 1.29.
- ^ Hartshorne, Algebraic Geometry (1977), Exercise II.8.8.
- ^ Birkar, Cascini, Hacon, and McKernan. J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), 405-468. Corollary 1.3.3 は、全ての単線織多様体はファノファイバー空間に双有理であることを、単線織多様体 X が次数が負である KX を持つ曲線の族により被覆されるという簡単な結果を使い示した。後者の参考としてDebarre, Higher-Dimensional Algebraic Geometry (2001), Corollary 4.11 および Example 4.7(1) を参照。
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