ベクトルの共変性と反変性
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/07 08:38 UTC 版)
多重線型代数やテンソル解析における共変性（英: covariance）と反変性（英: contravariance）とは、ある幾何学的または物理的な対象に基底変換を施した際に、それがどのように変化をするかを表す。物理学では、基底は基準とする座標系の軸としばしば同一視される。
概要
• 曲線上（黒色）の接基底ベクトル（黄色、図左：e1, e2, e3）
• 面（灰色）に対して法線をなす双対基底(青色, 図右： e1, e2, e3）
一般の3次元曲線座標系において、実空間上の点は数の組 (q1, q2, q3)によって示される。 基底とその双対基底は、基底が直交基底でない限りは一致しない[1]。
座標系のスケール変換は単位系の変更に関連する。
たとえば長さのスケールを考える。単位をメートル m からセンチメートル cm に変更する、すなわち長さの基準を 1/100倍に変える。このとき、長さの値は100倍になる。同様に位置ベクトルや速度ベクトルの各成分も 100 倍となる。このように、座標系の基準スケールを変えたときに、基準の変化とは逆の変化を要請することを反変性という。
この種のベクトルは長さや長さと他の次元の積の次元を持つ。対照的にその双対ベクトル（余ベクトルと呼ばれる）の次元は長さの逆か、それに別の次元を掛けたものになる。
双対ベクトルの例としては勾配が挙げられる。勾配は空間微分によって定義され、長さの逆の次元を持つ。双対ベクトルの成分は座標系のスケールが変わるときに同じ変化を要請する。これを共変性という。ベクトルおよび余ベクトルの成分は、一般の基底の変換に対しても同じような規則で変換される。
反変ベクトルと共変ベクトル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/08 18:30 UTC 版)
「4元ベクトル」の記事における「反変ベクトルと共変ベクトル」の解説
詳細は「ベクトルの共変性と反変性」を参照 座標変換 x μ → x ′ μ {\displaystyle x^{\mu }\to {x'}^{\mu }} に対して、 A μ → A ′ μ = ∂ x ′ μ ∂ x ν A ν {\displaystyle A^{\mu }\to {A'}^{\mu }={\frac {\partial {x'}^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}A^{\nu }} のように変換されるベクトル A を反変ベクトル (contravariant vector ) という。反変ベクトルであることを明示するために、添え字は右肩につける。反変ベクトルの例として、位置ベクトルや速度ベクトルがある。 同じ座標変換に対して、 B μ → B ′ μ = ∂ x ν ∂ x ′ μ B ν {\displaystyle B_{\mu }\to {B'}_{\mu }={\frac {\partial x^{\nu }}{\partial {x'}^{\mu }}}B_{\nu }} のように変換されるベクトル B を共変ベクトル (covariant vector ) という。共変ベクトルの添え字は右下につけると約束されている。例えば静電ポテンシャルの空間微分として定義される電場は共変ベクトルである。 反変ベクトルと共変ベクトルは、計量テンソル g μν を用いて互いに変換することができる。 x μ = g μ ν x ν , {\displaystyle x_{\mu }=g_{\mu \nu }x^{\nu }\,,} x μ = g μ ν x ν . {\displaystyle x^{\mu }=g^{\mu \nu }x_{\nu }\,.}
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