いくつかのアプローチとは? わかりやすく解説

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いくつかのアプローチ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/07/16 17:22 UTC 版)

テンソル」の記事における「いくつかのアプローチ」の解説

テンソルの定義・表示取り扱いには、いくつかの同等な方法がある。実際にそれらが同じことを指していることを納得するには、多少慣れが必要である。 古典的なアプローチではテンソル多次元配列で、階数0のスカラー階数1のベクトル階数2の行列などの階数nへの一般化与えているものと見なされるテンソルの「成分」は配列要素の値によって与えられることになる。この考えテンソル場として一般化されテンソル成分として関数やその微分取り扱われるうになるテンソルよばれるためには配列基準にしている座標系がかわるときには一定の変換を受けなければならない。この変換ベクトル要素対する関係を一般化したものであり、ベクトル場合同様に表している量が本質的に表示のための座標系選択によらないのであることを示している。 物理学における通常のテンソル定義の仕方は、特定の規則に従って成分変換されるような対象という言い方用いるもので、共変変換英語版)と反変変換英語版)の概念もちいられる現代的な成分使わないアプローチではテンソルはまず抽象的に多重線形性の概念にもとづく数学的対象として定義される。よく知られているような諸性質線型写像としての(あるいはもっと一般的な部分についての)定義から導かれるテンソル操作規則線形代数から多重線形代数への拡張の中で自然に現れる数学における普通のやり方では、ある種ベクトル空間用いて必要なとき基底考えるまでは特に座標系指定しないようにされる。例え共変ベクトル一次微分形式として説明できるし、あるいは反変ベクトル空間双対空間の元として説明するともできる現代流の成分によらないベクトル概念によって、成分表示にもとづく伝統的な(しかし、初学者ベクトル概念がどんなものかを教えるには有効な取り扱い置き換えられるように、この取り扱い成分にもとづく取り扱いをより高度な考え方によって置き換えることを目的としている。「テンソルテンソル空間の元のことなのだ」という標語掲げることもできるだろうが、高階テンソルに対して幾何的解釈をどう与えるかという難しさもあって、成分表示によらないアプローチ支配的になったというわけではない。 物理学者技術者たちは(勝手に選べてしまうような)座標系左右されない概念としてのベクトルテンソル重要性認識した同様に数学者たちは座標表示で導くのがより簡単であるテンソルの関係もあることを見いだしている。

※この「いくつかのアプローチ」の解説は、「テンソル」の解説の一部です。
「いくつかのアプローチ」を含む「テンソル」の記事については、「テンソル」の概要を参照ください。

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