共変変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/12 05:43 UTC 版)
「ベクトルの共変性と反変性」の記事における「共変変換」の解説
ベクトル空間 V 上の線型汎関数 α は基底 f の成分（係数体 S のスカラー）を用いて一意に表すことができる。 α ( X i ) = α i [ f ] , i = 1 , 2 , … , n . {\displaystyle \alpha (X_{i})=\alpha _{i}[{\boldsymbol {f}}],\quad i=1,2,\dots ,n.} これらの成分は 基底 f の元 Xi 上の α の作用である。 f から f' への基底変換 (1) の下で、α の成分は次のように変換される。 α i [ f A ] = α ( Y i ) = α ( ∑ j a i j X j ) = ∑ j a i j α ( X j ) = ∑ j a i j α j [ f ] . {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\alpha _{i}[{\boldsymbol {f}}A]&=&\alpha (Y_{i})\\&=&\alpha \left(\sum _{j}a_{i}^{j}X_{j}\right)\\&=&\sum _{j}a_{i}^{j}\alpha (X_{j})\\&=&\sum _{j}a_{i}^{j}\alpha _{j}[{\boldsymbol {f}}]\end{array}}.} (3) α の成分は行ベクトル α[f] を用いて次のように書き表せる： α [ f ] = [ α 1 [ f ] , α 2 [ f ] , … , α n [ f ] ] {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}[{\boldsymbol {f}}]={\begin{bmatrix}\alpha _{1}[{\boldsymbol {f}}],\alpha _{2}[{\boldsymbol {f}}],\dots ,\alpha _{n}[{\boldsymbol {f}}]\end{bmatrix}}} これより (3) の関係は行列の積として書き直すことができる。 α [ f A ] = α [ f ] A . {\displaystyle \alpha [{\boldsymbol {f}}A]=\alpha [{\boldsymbol {f}}]A.} 線型汎関数 α の成分は基底の変換 A に従って変換されるため、α の成分は基底の変換に対して共変である (transform covariantly ) という。 変換 A によって結ばれる基底と共変ベクトルの組は矢印を使った図で次のようにラフに表される。共変性は基底の変換と同じ向きの矢印で表現される： f ⟶ f ′ α [ f ] ⟶ α [ f ′ ] {\displaystyle {\begin{array}{ccc}{\boldsymbol {f}}&\longrightarrow &{\boldsymbol {f}}'\\\alpha [{\boldsymbol {f}}]&\longrightarrow &\alpha [{\boldsymbol {f}}']\end{array}}} 行ベクトルの代わりに列ベクトルを用いて表現する場合、変換規則は転置を用いて次のように表される。 α ⊺ [ f A ] = A ⊺ α ⊺ [ f ] . {\displaystyle \alpha ^{\intercal }[{\boldsymbol {f}}A]={\boldsymbol {A}}^{\intercal }\alpha ^{\intercal }[{\boldsymbol {f}}].}
※この「共変変換」の解説は、「ベクトルの共変性と反変性」の解説の一部です。
「共変変換」を含む「ベクトルの共変性と反変性」の記事については、「ベクトルの共変性と反変性」の概要を参照ください。
- 共変変換のページへのリンク
