共変形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/22 08:15 UTC 版)
運動量 p を用いて非相対論的なラーモアの公式（CGS単位系）を書くと P = 2 3 q 2 m 2 c 3 | p ˙ | 2 {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\boldsymbol {p}}}|^{2}} であり、P はローレンツ不変量であることが示せる。よって、ラーモアの公式をどのように相対論的に一般化するにしても、P をローレンツ不変量と結び付けなければならない。非相対論的な場合に量 | p ˙ | 2 {\displaystyle |{\dot {\boldsymbol {p}}}|^{2}} が現れることから、相対論的に正しい公式には、4元加速度（英語版） aμ = dpμ/dτ（pμ = (γmc, γmv) は4元運動量）の自分自身との内積で得られるローレンツ不変なスカラーが含まれているべきだと示唆される。相対論的に正しいラーモアの公式（CGS単位系）は次のようになる。 P = − 2 3 q 2 m 2 c 3 d p μ d τ d p μ d τ {\displaystyle P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}} この内積は d p μ d τ d p μ d τ = β 2 ( d p d τ ) 2 − ( d p d τ ) 2 {\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac {dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\boldsymbol {p}}}{d\tau }}\right)^{2}} で与えられるとわかるので、β ≪ 1 の極限では − | p ˙ | 2 {\displaystyle -|{\dot {\boldsymbol {p}}}|^{2}} に帰着し、非相対論的な場合の式が再現される。
※この「共変形式」の解説は、「ラーモアの公式」の解説の一部です。
「共変形式」を含む「ラーモアの公式」の記事については、「ラーモアの公式」の概要を参照ください。
- 共変形式のページへのリンク
