アインシュタイン・マクスウェル方程式とは? わかりやすく解説

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アインシュタイン・マクスウェル方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/12/02 17:11 UTC 版)

アインシュタイン方程式」の記事における「アインシュタイン・マクスウェル方程式」の解説

en:Maxwell's equations in curved spacetime」も参照 エネルギー・運動量テンソル Tμν が自由空間中の電磁場のみに由来する場合、すなわち電磁テンソル用いて以下のように表わせるとき T α β = − 1 μ 0 ( F α ψ F ψ β + 1 4 g α β F ψ τ F ψ τ ) {\displaystyle T^{\alpha \beta }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)} これを代入したアインシュタイン方程式はアインシュタイン・マクスウェル方程式と呼ばれ、(宇宙定数を含む形式では)以下のように書き下せる。 R α β − 1 2 R g α β + Λ g α β = 8 π G c 4 μ 0 ( F α ψ F ψ β + 1 4 g α β F ψ τ F ψ τ ) {\displaystyle R^{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}Rg^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}\left(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)} また、これに加えて電磁テンソル自由空間における共変形式マクスウェル方程式満たすことも要求される。 F α β ; β = 0 {\displaystyle F^{\alpha \beta }{}_{;\beta }=0} F [ α β ; γ ] = 1 3 ( F α β ; γ + F β γ ; α + F γ α ; β ) = 1 3 ( F α β , γ + F β γ , α + F γ α , β ) = 0 {\displaystyle F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}={\frac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\frac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0} ここで、セミコロン ; は共変微分表わすものとし、角括弧反対称化表わすものとする。これらの式は2-形式 F について、一つ目は 4-発散が 0 であること、二つ目外微分が 0 であることをそれぞれ示している。2つ目の方程式から、ポアンカレの補題によりある座標チャートにおいて電磁ポテンシャル Aα を以下のように導入できることが従う。 F α β = A α ; β − A β ; α = A α , β − A β , α {\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }\!} ここで、コンマ , は偏微分表わすものとする。これを用いた方程式共変マクスウェル方程式等価として扱うことも多い。しかし、電磁ポテンシャルを大域的に定義できない大域的な解も存在する

※この「アインシュタイン・マクスウェル方程式」の解説は、「アインシュタイン方程式」の解説の一部です。
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