共変性と反変性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/22 04:33 UTC 版)
ナビゲーションに移動 検索に移動共変性（きょうへんせい、英語: covariance）と反変性（はんぺんせい、英語: contravariance）とは、ある変換に対して変換の対象が示す性質のこと。圏論における一般化として共変関手および反変関手がある。
- 共変性と反変性 (計算機科学) - 計算機科学における共変性および反変性
- ベクトルの共変性と反変性 - 数学の多重線型代数における共変性および反変性
- 共変微分
共変性と反変性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)
詳細は「ベクトルの共変性と反変性」を参照 V の元 a→ を基底 e→0, e→1, e→2, e→3 で表す場合、a→ の各成分の添え字を a → = a μ e → μ {\displaystyle {\vec {a}}=a^{\mu }{\vec {e}}_{\mu }} のように上つきに書く（アインシュタインの縮約で表記）。一方、a→ を e→0, e→1, e→2, e→3 の双対基底 e→0, e→1, e→2, e→3 を用いて表す場合、a→ の各成分の添え字を a → = a μ e → μ {\displaystyle {\vec {a}}=a_{\mu }{\vec {e}}^{\mu }} のように下つきに書く。明らかに a μ = η ( a → , e → μ ) , a μ = η ( a → , e → μ ) {\displaystyle a^{\mu }=\eta ({\vec {a}},{\vec {e}}^{\mu }),\quad a_{\mu }=\eta ({\vec {a}},{\vec {e}}_{\mu })} である。また正規直交基底の場合は明らかに ( a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ) = ( a 0 , − a 1 , − a 2 , − a 3 ) {\displaystyle (a^{0},a^{1},a^{2},a^{3})=(a_{0},-a_{1},-a_{2},-a_{3})} が成立する。 V の2つの元 a→、b→ のミンコフスキー内積をとるとき、一方を基底 e→0, e→1, e→2, e→3 で表し、他方をその双対基底で表すと、 η ( ∑ μ a μ e → μ , ∑ ν b ν e → ν ) = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a μ b μ {\displaystyle \eta \left(\sum _{\mu }a^{\mu }{\vec {e}}_{\mu },\sum _{\nu }b_{\nu }{\vec {e}}^{\nu }\right)=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}=a^{\mu }b_{\mu }} と通常の内積のように書け、ミンコフスキー内積特有の符号の煩わしさから解放されるので便利である。 基底を一つ指定したとき、aμ は添え字 μ に対し反変、aμ は添え字 μ に対し共変であるという。これらの名称は、基底を取り替えた際の成分の変化に由来する。すなわち、ミンコフスキー空間上にもう1組の基底 (e′→0, e′→1, e′→2, e′→3) を用意し、基底の間の座標変換が成分表示で e′→ν = e→μΛμν と書けていたとすると4元ベクトル a→ の反変成分 a→ = a′νe′→ν = aμe→μ は、 a′ν = (Λ−1)νμ aμ という関係になるので、ダッシュつきの座標系にうつるとき、基底とは反対に Λμν の逆行列で結ばれる。それゆえ、「反対の変化」、すなわち反変と呼ばれる。 一方、基底の変更に対する共変成分の変化を見るため、双対基底が基底の変更でどのような影響を受けるか調べる。 e′→ν = e→μΓμν とすると、 δ μ ν = η ( e → ′ μ , e → ν ′ ) = Γ μ ξ Λ κ ν η ( e → ξ , e → κ ) {\displaystyle \delta ^{\mu }{}_{\nu }=\eta ({\vec {e}}'^{\mu },{\vec {e}}'_{\nu })=\Gamma ^{\mu }{}_{\xi }\Lambda ^{\kappa }{}_{\nu }\eta ({\vec {e}}^{\xi },{\vec {e}}_{\kappa })} = Γ μ ξ Λ κ ν δ ξ κ = Γ μ ξ Λ ξ ν {\displaystyle =\Gamma ^{\mu }{}_{\xi }\Lambda ^{\kappa }{}_{\nu }\delta ^{\xi }{}_{\kappa }=\Gamma ^{\mu }{}_{\xi }\Lambda ^{\xi }{}_{\nu }} すなわち、Γμν は Λμν の逆行列 (Λ−1)μν であるので、双対基底は e′→ν = e→μ(Λ−1)μν という変換規則に従うことがわかる。よって4元ベクトル a→ の共変成分 a→ = a′νe′→ν = aμe→μ は、 a′ν = Λνμ aμ という関係になるので、ダッシュつきの座標系にうつるとき、基底と共通の行列 Λμν で結ばれる。それゆえ、「共通の変化」、すなわち共変と呼ばれる。
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