通常のテンソル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/03 06:03 UTC 版)
「エディントンのイプシロン」の記事における「通常のテンソル」の解説
計量テンソル場があり、その計量を用いて接ベクトル空間の正規直交基底が得られれば、エディントンのイプシロンに一致する通常の反変テンソル場および共変テンソル場を定義できる。これら2つを混同していけないし、上述のテンソル密度場と混同してもいけない。計量テンソルによる添字の上げ下げによって一方のテンソル場から他方のテンソル場に変換することは、計量テンソルに由来する符号を除いて、通常通り行える。例えばミンコフスキー空間 (特殊相対論における4次元時空) では E α β γ δ E ρ σ μ ν = − g α ζ g β η g γ θ g δ ι δ ζ η θ ι ρ σ μ ν E α β γ δ E ρ σ μ ν = − g α ζ g β η g γ θ g δ ι δ ρ σ μ ν ζ η θ ι E α β γ δ = − g α ζ g β η g γ θ g δ ι E ζ η θ ι . {\displaystyle {\begin{aligned}E^{\alpha \beta \gamma \delta }E^{\rho \sigma \mu \nu }&=-g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }\delta _{\zeta \eta \theta \iota }^{\rho \sigma \mu \nu }\,\\E_{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \mu \nu }&=-g_{\alpha \zeta }g_{\beta \eta }g_{\gamma \theta }g_{\delta \iota }\delta _{\rho \sigma \mu \nu }^{\zeta \eta \theta \iota }\,\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }&=-g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }E_{\zeta \eta \theta \iota }\,.\end{aligned}}} となる。(符号に注意) これより、 E α β γ δ = 1 − g ε α β γ δ E α β γ δ = − g ε α β γ δ w h e r e g ≡ g α 0 g β 1 g γ 2 g δ 3 ε α β γ δ {\displaystyle {\begin{aligned}E^{\alpha \beta \gamma \delta }&={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\\E_{\alpha \beta \gamma \delta }&={\sqrt {-g}}\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\\\mathrm {where~~} g&\equiv g_{\alpha 0}g_{\beta 1}g_{\gamma 2}g_{\delta 3}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\end{aligned}}} および E α β γ δ E ρ σ μ ν = δ ρ σ μ ν α β γ δ {\displaystyle E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \mu \nu }=\delta _{\rho \sigma \mu \nu }^{\alpha \beta \gamma \delta }\,} が導かれる。
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