発散divの幾何学的意味
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/15 04:08 UTC 版)
「ベクトル解析」の記事における「発散divの幾何学的意味」の解説
1パラメーター変換をもちいると、発散divを幾何学的に意味づける事ができる。Φu(x' )を成分で y1(x' ), y2(x' ), y3(x' ), と書くことにすると、体積要素はヤコビアンを用いて d y 1 d y 2 d y 3 = | d Φ u d x | d x 1 d x 2 d x 3 {\displaystyle \operatorname {d} y_{1}\operatorname {d} y_{2}\operatorname {d} y_{3}=\left|{\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right|\operatorname {d} x_{1}\operatorname {d} x_{2}\operatorname {d} x_{3}} という関係式を満たす。すなわち、 Φuは点xにおいて微小体積を体積比 | d Φ u d x | {\displaystyle \left|{\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right|} で変換する写像である。 ヤコビの公式（英語版）より、 ∂ ∂ u | d Φ u d x | = tr ( d Φ u d x ~ ∂ ∂ u d Φ u d x ) {\displaystyle {\partial \over \partial u}\left|{\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right|=\operatorname {tr} \left({\widetilde {\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }}{\partial \over \partial u}{\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right)} ここで、 A ~ {\displaystyle {\tilde {A}}} はAの余因子行列である。Φ0は恒等写像なので、Iを単位行列とすると、1パラメーター変換の定義より、 ∂ ∂ u | d Φ u d x | u = 0 = tr ( I ~ d X d x ) = div X {\displaystyle {\partial \over \partial u}\left|{\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right|_{u=0}=\operatorname {tr} \left({\tilde {I}}{\operatorname {d} \mathbf {X} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right)=\operatorname {div} \mathbf {X} } すなわち、div Xは 微小体積の1パラメーター変換による変化率を表している。
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