1パラメーター変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/15 04:08 UTC 版)
発散divの幾何学的意味を見るため、ベクトル場の1パラメーター変換という概念を導入する。 Xを3次元ユークリッド空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上のベクトル場とし、xを R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の点とする。 Φu(x)を以下のように定義する： Φ u ( x ) {\displaystyle \Phi _{u}(\mathbf {x} )} をベクトル場Xに沿ってuだけ進んだ点、すなわち ∂ ∂ u Φ u ( x ) | u = u ′ = X Φ u ′ ( x ) {\displaystyle \left.{\partial \over \partial u}\Phi _{u}(\mathbf {x} )\right|_{u=u'}=\mathbf {X} _{\Phi _{u'}(\mathbf {x} )}} が全てのu' ∈[0,u]に対して成り立つ点とする。 このようなΦu(x)は全ての(x,u)に対して定義できるとは限らないが、xの近傍Uとε>0を十分小さく選べば、任意のx' ∈Uと任意のu' ∈[0,ε]に対してこのようなΦu(x' )を定義できることが知られている。このような写像Φuをベクトル場Xの1パラメーター変換という。
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