1パラメータの場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 11:23 UTC 版)
「ジェフリーズ事前分布」の記事における「1パラメータの場合」の解説
θ {\displaystyle \theta } と φ {\displaystyle \varphi } をそれぞれ統計モデルを記述するための異なる2種類のパラメータ座標とし、 θ {\displaystyle \theta } は φ {\displaystyle \varphi } の連続微分可能な関数であるとする。この時、事前分布 p θ ( θ ) {\displaystyle p_{\theta }(\theta )} が φ {\displaystyle \varphi } を用いた再パラメータ化の下で「不変」であるとは、以下が成り立つことである： p φ ( φ ) = p θ ( θ ) | d θ d φ | , {\displaystyle p_{\varphi }(\varphi )=p_{\theta }(\theta )\left|{\frac {d\theta }{d\varphi }}\right|,} つまり、 p θ ( θ ) {\displaystyle p_{\theta }(\theta )} と p φ ( φ ) {\displaystyle p_{\varphi }(\varphi )} が通常の積分変数変換で関連付けられれている時のことをいう。 フィッシャー情報量は再パラメータ化の下で次のように変換されるため、 I φ ( φ ) = I θ ( θ ) ( d θ d φ ) 2 , {\displaystyle I_{\varphi }(\varphi )=I_{\theta }(\theta )\left({\frac {d\theta }{d\varphi }}\right)^{2},} 事前確率分布を p φ ( φ ) ∝ I φ ( φ ) {\displaystyle p_{\varphi }(\varphi )\propto {\sqrt {I_{\varphi }(\varphi )}}} 及び p θ ( θ ) ∝ I θ ( θ ) {\displaystyle p_{\theta }(\theta )\propto {\sqrt {I_{\theta }(\theta )}}} の様に定義すれば、望んでいた「不変性」が得られる。
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