複数パラメータの場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 11:23 UTC 版)
「ジェフリーズ事前分布」の記事における「複数パラメータの場合」の解説
1パラメータの場合と同様に、 θ {\displaystyle \theta } と φ {\displaystyle \varphi } をそれぞれ異なる2種類のパラメータ座標とし、 θ {\displaystyle \theta } は φ {\displaystyle \varphi } の連続微分可能な関数であるとする。事前分布 p θ ( θ → ) {\displaystyle p_{\theta }({\vec {\theta }})} が再パラメータ化の下で「不変」であるとは、以下を満たすことをいう： p φ ( φ → ) = p θ ( θ → ) det J , {\displaystyle p_{\varphi }({\vec {\varphi }})=p_{\theta }({\vec {\theta }})\det J,} ここで J {\displaystyle J} はヤコビ行列であり、各成分は以下で与えられる： J i j = ∂ θ i ∂ φ j . {\displaystyle J_{ij}={\frac {\partial \theta _{i}}{\partial \varphi _{j}}}.} フィッシャー情報行列は再パラメータ化の下で次のように変換される： I φ ( φ → ) = J T I θ ( θ → ) J , {\displaystyle I_{\varphi }({\vec {\varphi }})=J^{T}I_{\theta }({\vec {\theta }})J,} よって det I φ ( φ ) = det I θ ( θ ) ( det J ) 2 {\displaystyle \det I_{\varphi }(\varphi )=\det I_{\theta }(\theta )(\det J)^{2}} したがって、事前分布を. p φ ( φ → ) ∝ det I φ ( φ → ) {\displaystyle p_{\varphi }({\vec {\varphi }})\propto {\sqrt {\det I_{\varphi }({\vec {\varphi }})}}} 及び p θ ( θ → ) ∝ det I θ ( θ → ) {\displaystyle p_{\theta }({\vec {\theta }})\propto {\sqrt {\det I_{\theta }({\vec {\theta }})}}} の様に定義すれば、望んでいた「不変性」が得られる。
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