フィッシャー情報行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 08:52 UTC 版)
「フィッシャー情報量」の記事における「フィッシャー情報行列」の解説
パラメータがN個の場合、つまり、 θ {\displaystyle \mathbf {\theta } } がN次のベクトル θ = ( θ 1 , θ 2 , ⋯ , θ N ) T {\displaystyle \theta =(\theta _{1},\theta _{2},\cdots ,\theta _{N})^{T}} であるとき、フィッシャー情報量は、以下で定義されるNxN 行列に拡張される。 I ( θ ) = E [ ∂ ∂ θ ln f ( X ; θ ) ∂ ∂ θ T ln f ( X ; θ ) ] . {\displaystyle {\mathcal {I}}(\mathbf {\theta } )=\mathrm {E} \left[{\frac {\partial }{\partial \mathbf {\theta } }}\ln f(X;\theta ){\frac {\partial }{\partial \mathbf {\theta } ^{T}}}\ln f(X;\theta )\right].} これを、フィッシャー情報行列(FIM, Fisher information matrix)と呼ぶ。成分表示すれば、以下のようになる。 ( I ( θ ) ) i , j = E [ ∂ ∂ θ i ln f ( X ; θ ) ∂ ∂ θ j ln f ( X ; θ ) ] . {\displaystyle {\left({\mathcal {I}}\left(\theta \right)\right)}_{i,j}=\mathrm {E} \left[{\frac {\partial }{\partial \theta _{i}}}\ln f(X;\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta _{j}}}\ln f(X;\theta )\right].} フィッシャー情報行列は、NxN の正定値対称行列であり、その成分は、N次のパラメータ空間からなるフィッシャー情報距離を定義する。 p {\displaystyle p} 個のパラメータによる尤度があるとき、フィッシャー情報行列のi番目の行と、j番目の列の要素がゼロであるなら、2つのパラメータ、 θ i {\displaystyle \theta _{i}} と θ j {\displaystyle \theta _{j}} は直交である。パラメータが直交であるとき、最尤推定量が独立になり、別々に計算することができるため、扱いやすくなる。このため、研究者が何らかの研究上の問題を扱うとき、その問題に関わる確率密度が直交になるようにパラメーター化する方法を探すのに一定の時間を費やすのが普通である。
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