母数の推定
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/19 11:25 UTC 版)
確率密度関数が f ( x ) = 1 ( 2 π ) k | Σ | exp ( − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{k}|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}}\exp \left(-{1 \over 2}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right)} である多変量正規分布に従う大きさ n の標本から、共分散行列を推定することを考える。この場合の最尤推定量は Σ ^ = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) ( x i − x ¯ ) T {\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\Sigma }}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}({\mathbf {x} }_{i}-{\overline {\mathbf {x} }})({\mathbf {x} }_{i}-{\overline {\mathbf {x} }})^{\rm {T}}} であり、これは単純に標本共分散行列を計算したものである。ただし不偏推定量ではなく、期待値は E [ Σ ^ ] = n − 1 n Σ {\displaystyle E[{\widehat {\boldsymbol {\Sigma }}}]={\frac {n-1}{n}}{\boldsymbol {\Sigma }}} となる。よって Σ ^ = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) ( x i − x ¯ ) T {\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\Sigma }}}={1 \over n-1}\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})^{\rm {T}}} とすれば不偏推定量になる。多変量正規分布の母数の推定において、フィッシャー情報行列は閉じた式で書け、例えばクラメール・ラオの限界の算出に用いられる。詳細はフィッシャー情報量を参照。
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