母数が1つで推定量が不偏とは限らない場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 00:44 UTC 版)
「クラメール・ラオの限界」の記事における「母数が1つで推定量が不偏とは限らない場合」の解説
母数 θ {\displaystyle \theta } の推定量 θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}} に b ( θ ) = E [ θ ^ ] − θ {\displaystyle b(\theta )=\operatorname {E} [{\hat {\theta }}]-\theta } だけの偏りがあるとする。 ψ ( θ ) = b ( θ ) + θ {\displaystyle \psi (\theta )=b(\theta )+\theta } と置いて前項の結果を使うと、 Var ( θ ^ ) ≥ [ 1 + b ′ ( θ ) ] 2 I ( θ ) {\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\theta }})\geq {\frac {[1+b'(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}} 不偏のときの不等式は、 b ( θ ) = 0 {\displaystyle b(\theta )=0} とした特別な場合である。 分散を小さくすることだけを考えるなら、定数関数となる「推定量」をとれば、分散はゼロである。しかし上記の式から、推定量の平均二乗誤差には E [ ( θ ^ − θ ) 2 ] ≥ [ 1 + b ′ ( θ ) ] 2 I ( θ ) + b ( θ ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} \left[({\hat {\theta }}-\theta )^{2}\right]\geq {\frac {[1+b'(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}+b(\theta )^{2}} という下限が存在することになる。ここで、平均二乗誤差の標準的な分解式 MSE ( θ ^ ) := E [ ( θ ^ − θ ) 2 ] = E [ ( θ ^ − E [ θ ^ ] ) 2 ] + ( E [ θ ^ ] − θ ) 2 {\displaystyle \operatorname {MSE} ({\hat {\theta }}):=\operatorname {E} \left[({\hat {\theta }}-\theta )^{2}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} [{\hat {\theta }}]\right)^{2}\right]+\left(\operatorname {E} [{\hat {\theta }}]-\theta \right)^{2}} を用いた。 注意：もし 1 + b ′ ( θ ) < 1 {\displaystyle 1+b'(\theta )<1} であれば、不偏のときのクラメール・ラオの下限 1 / I ( θ ) {\displaystyle 1/I(\theta )} を下回ることもある。例えば、後述する例では、 1 + b ′ ( θ ) = n n + 2 < 1 {\displaystyle 1+b'(\theta )={\frac {n}{n+2}}<1} となる。
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