母数が1つで推定量が不偏の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 00:44 UTC 版)
「クラメール・ラオの限界」の記事における「母数が1つで推定量が不偏の場合」の解説
何らかの確率密度関数 f ( x ; θ ) {\displaystyle f(x;\theta )} に従って分布する量 x {\displaystyle x} の観測値から、未知母数 θ {\displaystyle \theta } を推定することを考える。このとき、 θ {\displaystyle \theta } に対する任意の不偏な推定量 θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}} の分散は、フィッシャー情報量 I ( θ ) {\displaystyle I(\theta )} の逆数以上になる： Var ( θ ^ ) ≥ 1 I ( θ ) {\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\theta }})\geq {\frac {1}{I(\theta )}}} フィッシャー情報量 I ( θ ) {\displaystyle I(\theta )} は I ( θ ) = E [ ( ∂ ℓ ( X ; θ ) ∂ θ ) 2 ] {\displaystyle I(\theta )=\operatorname {E} \left[\left({\frac {\partial \ell (X;\theta )}{\partial \theta }}\right)^{2}\right]} と定義される。ここで、 ℓ ( x ; θ ) = ln ( f ( x ; θ ) ) {\displaystyle \ell (x;\theta )=\ln(f(x;\theta ))} は尤度の自然対数をとったもの（なお ∂ ℓ ( x ; θ ) ∂ θ {\displaystyle {\frac {\partial \ell (x;\theta )}{\partial \theta }}} をスコア関数（英語版）という）で、 E {\displaystyle \operatorname {E} } は平均を表す。 不偏推定量 θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}} の有効度は、推定量の分散がこの下限にどの程度接近しているかを測る指標で、次のように定義される。 e ( θ ^ ) = I ( θ ) − 1 Var ( θ ^ ) {\displaystyle e({\hat {\theta }})={\frac {I(\theta )^{-1}}{\operatorname {Var} ({\hat {\theta }})}}} 不偏推定量の分散の下限値を、実際の分散で割った値、ともいえる。クラメール・ラオの下限より e ( θ ^ ) ≤ 1 {\displaystyle e({\hat {\theta }})\leq 1} となる。
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