重積分と累次積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/22 03:05 UTC 版)
「積分順序」も参照 適当な条件下においては、重積分は累次積分に等しく、帰納的に一次元の積分の繰り返しに帰着することができる。すなわち、 ∫ D N f ( x 1 , … , x N ) d x 1 ⋯ d x N = ∫ D N − 1 d x 1 ⋯ d x N − 1 ∫ D 1 f ( x 1 , … , x N ) d x N {\displaystyle \int _{D^{N}}f(x_{1},\ldots ,x_{N})dx_{1}\cdots dx_{N}=\int _{D^{N-1}}dx_{1}\cdots dx_{N-1}\int _{D^{1}}f(x_{1},\ldots ,x_{N})dx_{N}} を帰納的に用いて計算ができる（右辺は、まず xN に関して f を積分したものを、さらに残りの変数に関して積分することを表す）。ただし、積分領域の右肩の添字はその領域の次元を示すもので、DN = DN−1 × N1 であるものとする。 フビニの定理によれば、f の重積分が絶対可積分であるとき、すなわち ∫ A × B | f ( x , y ) | d ( x , y ) < ∞ {\displaystyle \int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty } が成立するとき、 ∫ A × B f ( x , y ) d ( x , y ) = ∫ A ( ∫ B f ( x , y ) d y ) d x = ∫ B ( ∫ A f ( x , y ) d x ) d y {\displaystyle \int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)dy} が成立する。特に、このような条件が満たされるのは |f(x, y)| が有界函数で、A, B がともに有界集合となるときに限る。 絶対可積分でない場合には、重積分と累次積分とは一般には異なる概念を定めるが、特に両者に同一の記法を用いることもよくあるから混同しないように注意する必要がある。真の二重積分でない累次積分を表すのに ∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( x , y ) d y d x {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx} のような記法をもちいることもある。この累次積分では、外側の積分 ∫ 0 1 ⋯ d x {\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \,dx} は内側の積分によって得られる函数 g ( x ) = ∫ 0 1 f ( x , y ) d y {\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy} の、x に関する積分を意味するものである。他方、二重積分は、xy-平面上の領域に関して定義される。二重積分が存在するならば、それは "dy dx" あるいは "dx dy" に関する二種類の累次積分のいずれとも等しく、故にしばしばこのいずれかの累次積分を用いて二重積分を計算することが行われる。しかし問題は、この二つの累次積分がともに存在するにもかかわらず二重積分が存在しない場合があることであって、またそのような場合のうちに両累次積分の値が異なる、つまり ∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( x , y ) d y d x ≠ ∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( x , y ) d x d y {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy} となる場合が存在しうることである。そのような場合を、条件付可積分という。 累次積分ではない二重積分であることを強調するために ∫ [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] f ( x , y ) d x d y {\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy} のような記法を用いることもある。
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