移動積分とは？わかりやすく解説

移動平均（いどうへいきん）は、時系列データ（より一般的には時系列に限らず系列データ）を平滑化する手法である^[1]。音声や画像等のデジタル信号処理に留まらず、金融（特にテクニカル分析）や、気象・水象を含む計測など、広い技術分野で使われる。有限インパルス応答に対するローパスフィルタ（デジタルフィルタ）の一種であり、分野によっては移動積分とも呼ばれる。

主要なものは、単純移動平均と加重移動平均と指数移動平均の3種類である。普通、移動平均といえば、単純移動平均のことをいう。

単純移動平均

単純移動平均 (英: Simple Moving Average; SMA) は、直近の n 個のデータの重み付けのない単純な平均である。例えば、10日間の終値の単純移動平均とは、直近の10日間の終値の平均である。それら終値を $p_{M}$

WMA の重み付け N=15 の場合

翌日の WMA を計算するには、 ${\text{WMA}}_{M+1}$

EMA の重み付け N=15 の場合

指数移動平均(英: Exponential Moving Average; EMA) では、指数関数的に重みを減少させる。指数加重移動平均 (英: Exponentially Weighted Moving Average; EWMA)、指数平滑移動平均 (英: Exponentially Smoothed Moving Average) とも呼ばれる。重みは指数関数的に減少するので、最近のデータを重視するとともに古いデータを完全には切り捨てない（重みは完全にゼロにはならない）。右図は、重みの減少する様子を表したものである。なお、EMA は移動平均とは呼べないとする立場もあり、その場合は指数平滑平均 (英: Exponential Average) と呼ぶ。

重みの減少度合いは平滑化係数と呼ばれる 0 と 1 との間の値をとる定数 $α$ で決定される。 $α$ は百分率で表現されることもあり、平滑化係数が 10% というのは $α$ =0.1 と同じことを表している。 $α$ を時系列区間 N で表すこともあり、その場合は $\alpha ={2 \over {N+1}}$ となる。例えば、N=19 なら $α$ =0.1 となる。重みの半減期（重みが0.5以下となる期間）は、約 N/2.8854 である（N＞5 のとき1％の精度で）。

時系列上のある時点 t の値を Y_t で表し、ある時点 t での EMA を S_t で表す。S₁ は定義しない。S₂ の値をどう設定するかにはいくつかの手法があり、S₂ の値を Y₁ とすることが多いが、S₂ を時系列上の最初の4つか5つのデータの平均とすることもある。 $α$ が小さい場合、S₂ をどう設定するかは比較的重要であるが、 $α$ が大きい場合は（古い値の重みが小さくなるので）重要ではない。

t≧3 の場合の EMA の計算式は次のとおりである。^[4]

S_{t}=\alpha \times Y_{t-1}+(1-\alpha )\times S_{t-1}

この計算式は Hunter (1986)によるものである^[4]。各データの重みは、 $\alpha (1-\alpha )^{x}Y_{t-(x+1)}$ になる。Roberts (1959) では Y_t-1 の代わりに Y_t を使っていた^[5]。

この式をテクニカル分析の用語を使って表すと次のようになる。用語が異なるだけで同じ式である

{\text{EMA}}_{\mathrm {today} }={\text{EMA}}_{\mathrm {yesterday} }+\alpha \times ({\text{price}}_{\mathrm {yesterday} }-{\text{EMA}}_{\mathrm {yesterday} })

この式で ${\text{EMA}}_{\mathrm {yesterday} }$ を展開すると次式のようなべき級数となり、各時点の価格 p₁, p₂, …… が指数関数的に重み付けされている。

{\text{EMA}}_{M}=\alpha \times \left(p_{M}+(1-\alpha )p_{M-1}+(1-\alpha )^{2}p_{M-2}+\cdots \right)

^{[注釈 2]}

理論上これは総和であるが、1− $α$ が 1より小さいので、項はどんどん小さくなって、ある項から先は無視できる大きさになる。

N 日間の EMA といった場合の N は単に係数 $α$ を示すに過ぎず、実際の計算は N 日間のデータだけでは済まない。ただし、直近の N 日間のデータが EMA において 86 ％の重みをもつ。証明：

{{\alpha \times \left(1+(1-\alpha )+(1-\alpha )^{2}+\cdots +(1-\alpha )^{N}\right)} \over {\alpha \times \left(1+(1-\alpha )+(1-\alpha )^{2}+\cdots +(1-\alpha )^{\infty }\right)}}=1-{\left(1-{2 \over N+1}\right)}^{N+1}

（左辺の分母は1であり、分子の等比数列の和が右辺の形になる^{[注釈 3]}。）この極限値は、

\lim _{N\to \infty }\left[1-\left(1-{2 \over N+1}\right)^{N+1}\right]

= 1−e⁻² ≒ 0.8647

になる^{[注釈 4]}（e はネイピア数）。

実際には、上のべき級数の式を使って最初のある日までの EMA を計算し、その翌日以降は最初のほうで示した式を使えばよい。

初期値の問題に戻る。古いデータに極めて大きな値があった場合、たとえその重みが小さくても全体には大きな影響を与える。そういう場合には、価格変動がそれほど大きくないと仮定できるなら、重みだけを考慮してある項目数 k までで計算を打ち切ればよい。このとき、省略される項の重みは

\alpha \times \left((1-\alpha )^{k}+(1-\alpha )^{k+1}+(1-\alpha )^{k+2}+\cdots \right)

=\alpha \times (1-\alpha )^{k}\times \left(1+(1-\alpha )+(1-\alpha )^{2}+\cdots \right)

=(1-\alpha )^{k}

となる。すなわち、全体の重み 1 に対して $(1-\alpha )^{k}$ に相当する部分が省略されることになる。

例えば、99.9 ％の重み（精度）で計算したい場合には、計算する項目数を $k={\log(0.001) \over \log(1-\alpha )}$ とすればよい。 $\log \,(1-\alpha )$ は N が増えるに従って $-\alpha ={-2 \over {N+1}}$ に近づいていく^{[注釈 5]}から、N が大きいときは $k=3.45(N+1)$ ^{[注釈 6]}とすればほぼ 99.9% の精度となる。

なお、 $\alpha ={2 \over {N+1}}$ ではなく $\alpha ={1 \over {N}}$ とする EMA もある（次節）。

修正移動平均

修正移動平均 (Modified Moving Average; MMA) は、Running Moving Average (RMA)、平滑移動平均 (Smoothed Moving Average) などと呼ばれる。

定義は次式による。

{\text{MMA}}_{\mathrm {today} }={(N-1)\times {\text{MMA}}_{\mathrm {yesterday} }+{\text{price}} \over {N}}

要するに、 $\alpha ={1 \over {N}}$ とした指数移動平均である。

三角移動平均

Triangular Moving Average (TMA)。三角形移動平均ともいう。単純移動平均を2回適用したものである。

定義は以下のとおり。w は (N+1)/2 の切り上げとする。

{\text{TMA}}={\text{SMA}}({\text{SMA}}({\text{price}},w),w)

重みのグラフが二等辺三角形となる。w - 1 日前に最も大きな重みがかかる。

正弦加重移動平均

Sine Weighted Moving Average (SWMA)。加重移動平均において、重みのかけ方に正弦波（三角関数）を利用する。線形加重移動平均に近い $\cos$ を利用する方法と、三角移動平均に近い $\sin$ を利用する方法がある。

累積移動平均

Cumulative moving Average (CA)。全期間の平均をとった移動平均。

定義は次式のとおり。

{\text{CA}}_{i}={{x_{1}+\cdots +x_{i}} \over i}

^{[注釈 7]}

一般化した移動平均

より一般化し、重みを任意に決めたものは、移動平均とは呼ばれず、畳み込みやFIRフィルタリングなどと呼ばれることが多い。

しかし、「自己回帰移動平均モデル」の「移動平均」は、この一般化した意味である。

KZフィルタ

単純移動平均より良好な周波数特性を得るため、単純移動平均を数回繰り返すことがある。この操作によってかけられるフィルタをコルモゴロフ・ズルベンコ・フィルタ (Kolmogorov-Zurbenko filter、KZフィルタ) という。

回数を十分増やすと、KZフィルタのインパルス応答はガウス関数に漸近する。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ 数値計算上は、丸め誤差が累積する事に注意。
^ $1/\alpha =1+(1-\alpha )+(1-\alpha )^{2}+\cdots$ なので、

${\text{EMA}}={p_{M}+(1-\alpha )p_{M-1}+(1-\alpha )^{2}p_{M-2}+(1-\alpha )^{3}p_{M-3}+\cdots \over 1+(1-\alpha )+(1-\alpha )^{2}+(1-\alpha )^{3}+\cdots }$
^ 分子は $\alpha \left({1-(1-\alpha )^{N+1} \over 1-(1-\alpha )}\right)$ である。
^ (1+x/n)ⁿ の極限値は、n→∞ のとき e^x になる。
^ $α$ →0 のとき、テイラー展開によって、log(1− $α$ ) = − $α$ − $α$ ²/2 - … → − $α$ である。
^ log_e(0.001) / 2 = -3.45
^ ${\text{CA}}_{i}={i{\text{CA}}_{i-1}+{x_{i}} \over {i}}$ としても計算できる。

出典

^ “基本用語集（い）”. 統計学習の指導のために（先生向け）. 統計局. 2024年6月22日閲覧。
^ Moving Averages page at ForexAbode.com
^ Ya-lun Chou, Statistical Analysis, Holt International, 1975, ISBN 0030894220, section 17.9.
^ ^a ^b NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: Single Exponential Smoothing アメリカ国立標準技術研究所
^ NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: EWMA Control Charts アメリカ国立標準技術研究所

外部リンク

[2] 数値計算上は、丸め誤差が累積する事に注意。

[7] $1/\alpha =1+(1-\alpha )+(1-\alpha )^{2}+\cdots$ なので、

${\text{EMA}}={p_{M}+(1-\alpha )p_{M-1}+(1-\alpha )^{2}p_{M-2}+(1-\alpha )^{3}p_{M-3}+\cdots \over 1+(1-\alpha )+(1-\alpha )^{2}+(1-\alpha )^{3}+\cdots }$

[8] 分子は $\alpha \left({1-(1-\alpha )^{N+1} \over 1-(1-\alpha )}\right)$ である。

[9] (1+x/n)ⁿ の極限値は、n→∞ のとき e^x になる。

[10] $α$ →0 のとき、テイラー展開によって、log(1− $α$ ) = − $α$ − $α$ ²/2 - … → − $α$ である。

[11] _e(0.001) / 2 = -3.45

[12] ${\text{CA}}_{i}={i{\text{CA}}_{i-1}+{x_{i}} \over {i}}$ としても計算できる。

[1] “基本用語集（い）”. 統計学習の指導のために（先生向け）. 統計局. 2024年6月22日閲覧。

[ForexAbode-3] Moving Averages page at ForexAbode.com

[4] Ya-lun Chou, Statistical Analysis, Holt International, 1975, ISBN 0030894220, section 17.9.

[#1-5] NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: Single Exponential Smoothing アメリカ国立標準技術研究所

[6] NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: EWMA Control Charts アメリカ国立標準技術研究所

[1]

[4]

[5]

[注釈 2]

[注釈 3]

[注釈 4]

[注釈 5]

[注釈 6]

[注釈 7]

移動積分とは？わかりやすく解説

移動平均

単純移動平均

修正移動平均

三角移動平均

正弦加重移動平均

累積移動平均

一般化した移動平均

KZフィルタ

脚注

注釈

出典

関連項目

外部リンク

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