移動平均
(移動積分 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2025/06/30 02:26 UTC 版)
移動平均(いどうへいきん)は、時系列データ(より一般的には時系列に限らず系列データ)を平滑化する手法である[1]。音声や画像等のデジタル信号処理に留まらず、金融(特にテクニカル分析)や、気象・水象を含む計測など、広い技術分野で使われる。有限インパルス応答に対するローパスフィルタ(デジタルフィルタ)の一種であり、分野によっては移動積分とも呼ばれる。
主要なものは、単純移動平均と加重移動平均と指数移動平均の3種類である。普通、移動平均といえば、単純移動平均のことをいう。
単純移動平均
単純移動平均 (英: Simple Moving Average; SMA) は、直近の n 個のデータの重み付けのない単純な平均である。例えば、10日間の終値の単純移動平均とは、直近の10日間の終値の平均である。それら終値を
翌日の WMA を計算するには、
指数移動平均(英: Exponential Moving Average; EMA) では、指数関数的に重みを減少させる。指数加重移動平均 (英: Exponentially Weighted Moving Average; EWMA)、指数平滑移動平均 (英: Exponentially Smoothed Moving Average) とも呼ばれる。重みは指数関数的に減少するので、最近のデータを重視するとともに古いデータを完全には切り捨てない(重みは完全にゼロにはならない)。右図は、重みの減少する様子を表したものである。なお、EMA は移動平均とは呼べないとする立場もあり、その場合は指数平滑平均 (英: Exponential Average) と呼ぶ。
重みの減少度合いは平滑化係数と呼ばれる 0 と 1 との間の値をとる定数 α で決定される。α は百分率で表現されることもあり、平滑化係数が 10% というのは α=0.1 と同じことを表している。α を時系列区間 N で表すこともあり、その場合は となる。例えば、N=19 なら α=0.1 となる。重みの半減期(重みが0.5以下となる期間)は、約 N/2.8854 である(N>5 のとき1%の精度で)。
時系列上のある時点 t の値を Yt で表し、ある時点 t での EMA を St で表す。S1 は定義しない。S2 の値をどう設定するかにはいくつかの手法があり、S2 の値を Y1 とすることが多いが、S2 を時系列上の最初の4つか5つのデータの平均とすることもある。α が小さい場合、S2 をどう設定するかは比較的重要であるが、α が大きい場合は(古い値の重みが小さくなるので)重要ではない。
t≧3 の場合の EMA の計算式は次のとおりである。[4]
この計算式は Hunter (1986)によるものである[4]。各データの重みは、 になる。Roberts (1959) では Yt-1 の代わりに Yt を使っていた[5]。
この式をテクニカル分析の用語を使って表すと次のようになる。用語が異なるだけで同じ式である
この式で を展開すると次式のようなべき級数となり、各時点の価格 p1, p2, …… が指数関数的に重み付けされている。
理論上これは総和であるが、1−α が 1より小さいので、項はどんどん小さくなって、ある項から先は無視できる大きさになる。
N 日間の EMA といった場合の N は単に係数 α を示すに過ぎず、実際の計算は N 日間のデータだけでは済まない。ただし、直近の N 日間のデータが EMA において 86 %の重みをもつ。証明:
実際には、上のべき級数の式を使って最初のある日までの EMA を計算し、その翌日以降は最初のほうで示した式を使えばよい。
初期値の問題に戻る。古いデータに極めて大きな値があった場合、たとえその重みが小さくても全体には大きな影響を与える。そういう場合には、価格変動がそれほど大きくないと仮定できるなら、重みだけを考慮してある項目数 k までで計算を打ち切ればよい。このとき、省略される項の重みは
となる。すなわち、全体の重み 1 に対して に相当する部分が省略されることになる。
例えば、99.9 %の重み(精度)で計算したい場合には、計算する項目数を とすればよい。 は N が増えるに従って に近づいていく[注釈 5]から、N が大きいときは [注釈 6]とすればほぼ 99.9% の精度となる。
なお、 ではなく とする EMA もある(次節)。
修正移動平均
修正移動平均 (Modified Moving Average; MMA) は、Running Moving Average (RMA)、平滑移動平均 (Smoothed Moving Average) などと呼ばれる。
定義は次式による。
要するに、 とした指数移動平均である。
三角移動平均
Triangular Moving Average (TMA)。三角形移動平均ともいう。単純移動平均を2回適用したものである。
定義は以下のとおり。w は (N+1)/2 の切り上げとする。
重みのグラフが二等辺三角形となる。w - 1 日前に最も大きな重みがかかる。
正弦加重移動平均
Sine Weighted Moving Average (SWMA)。加重移動平均において、重みのかけ方に正弦波(三角関数)を利用する。線形加重移動平均に近い を利用する方法と、三角移動平均に近い を利用する方法がある。
累積移動平均
Cumulative moving Average (CA)。全期間の平均をとった移動平均。
定義は次式のとおり。
一般化した移動平均
より一般化し、重みを任意に決めたものは、移動平均とは呼ばれず、畳み込みやFIRフィルタリングなどと呼ばれることが多い。
しかし、「自己回帰移動平均モデル」の「移動平均」は、この一般化した意味である。
KZフィルタ
単純移動平均より良好な周波数特性を得るため、単純移動平均を数回繰り返すことがある。この操作によってかけられるフィルタをコルモゴロフ・ズルベンコ・フィルタ (Kolmogorov-Zurbenko filter、KZフィルタ) という。
回数を十分増やすと、KZフィルタのインパルス応答はガウス関数に漸近する。
脚注
注釈
出典
- ^ “基本用語集(い)”. 統計学習の指導のために(先生向け). 統計局. 2024年6月22日閲覧。
- ^ Moving Averages page at ForexAbode.com
- ^ Ya-lun Chou, Statistical Analysis, Holt International, 1975, ISBN 0030894220, section 17.9.
- ^ a b NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: Single Exponential Smoothing アメリカ国立標準技術研究所
- ^ NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: EWMA Control Charts アメリカ国立標準技術研究所
関連項目
外部リンク
移動積分と同じ種類の言葉
- 移動積分のページへのリンク