ヴォルテラの積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/09 22:39 UTC 版)
定義 (Volterra) ∏ a b ( 1 + f ( x ) d x ) := lim Δ x → 0 ∏ ( 1 + f ( x i ) Δ x ) . {\displaystyle \prod _{a}^{b}(1+f(x)\,dx):=\lim _{\Delta x\to 0}\prod (1+f(x_{i})\,\Delta x).} この意味での乗法的積分に関して、実函数の可積分条件はリーマン可積分であることが必要十分である。同様の仕方で、乗法的ルベーグ積分（後述）、乗法的リーマン・スティルチェス積分、乗法的ヘンストック・クルツヴァイル積分など、より一般の乗法的積分などを考えることができる。 この定義はヴォルテラのオリジナルの定義に対応する。数値的な函数 f: [a, b] → R に対し、 ∏ a b ( 1 + f ( x ) d x ) = exp ( ∫ a b f ( x ) d x ) , {\displaystyle \prod _{a}^{b}(1+f(x)\,dx)=\exp \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right),} が成り立つ。ゆえにこれは乗法的微分積分学（英語版）に言う意味での乗法的積分—線型汎函数として乗法的であるような作用素–ではない。 ヴォルテラの乗法的積分は、行列値函数あるいはより一般にバナッハ代数値函数に対して（上記の数値的な函数の場合のような関係式は成立しないが）極めて有効である。 また、数値的な函数に対して、ヴォルテラの微分積分の体系での微分は対数微分法であり、従ってヴォルテラの意味での微分積分学は乗法的微分積分学（英語版）の一種でもないし、非ニュートン微分積分学（英語版） (non-Newtonian calculus) の一種でもない。
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