可積分性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/02 17:10 UTC 版)
エルンスト方程式は完全可積分であり、ラックス表現を持つことやパンルヴェ性が示されている。特に、エルンストポテンシャル E = f + i b {\displaystyle {\mathcal {E}}=f+ib} から J = 1 f ( 1 − b − b f 2 + b 2 ) {\displaystyle J={\frac {1}{f}}{\begin{pmatrix}1&-b\\-b&f^{2}+b^{2}\end{pmatrix}}} という行列を導入するとき、エルンスト方程式はヤン方程式 ∂ ρ ( ρ ( ∂ ρ ) J − 1 ) + ∂ z ( ρ ( ∂ z J ) J − 1 ) = 0 {\displaystyle \partial _{\rho }(\rho (\partial _{\rho })J^{-1})+\partial _{z}(\rho (\partial _{z}J)J^{-1})=0} に書き換えられることから、エルンスト方程式は S L ( 2 , R ) {\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )} -シグマ模型と等価である。
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可積分性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/20 05:50 UTC 版)
ケーラー多様体は可積分条件を満たす概エルミート多様体である。この条件はいくつかの同値な方法で述べることができる。 ( M , g , ω , J ) {\displaystyle (M,g,\omega ,J)} を実 2 n {\displaystyle 2n} 次元の概エルミート多様体とし、 ∇ {\displaystyle \nabla } を g {\displaystyle g} のレヴィ・チヴィタ接続とすると、以下は M {\displaystyle M} がケーラーとなる同値な条件である。 ω {\displaystyle \omega } が閉で、 J {\displaystyle J} が可積分である ∇ J = 0 {\displaystyle \nabla J=0} ∇ ω = 0 {\displaystyle \nabla \omega =0} ∇ {\displaystyle \nabla } のホロノミー群（英語版）(holonomy group)が J {\displaystyle J} に関するユニタリ群 U ( n ) {\displaystyle U(n)} に含まれる これらの条件の同値性は、ユニタリ群の「3 から 2(2 out of 3)」の性質に対応する。 特に、 M {\displaystyle M} がエルミート多様体であれば、条件 d ω = 0 {\displaystyle d\omega =0} が一見、非常に強く見える条件 ∇ ω = ∇ J = 0 {\displaystyle \nabla \omega =\nabla J=0} と同値である。ケーラー多様体の理論の豊かさは、これらの性質によるところもある。
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可積分性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:14 UTC 版)
有界関数のリーマン可積分性はルベーグ測度を用いて以下のように特徴づけられる： 定理（ルベーグ） ― ℝn の有界閉区間 I 上の有界関数 f: I → ℝ に対し、f が I 上リーマン可積分であることと、f がほとんど至るところ連続である（すなわち f の不連続点全体の集合が零集合である）ことは同値である。 可算集合は測度 0 であるので、上の定理から特に、有界閉区間上の有界函数は不連続点が高々可算個ならリーマン可積分である。 この定理は様々な方法で証明できるが、そのうちの一つは以下のようなものである： 証明 最も簡単な証明は可積分性の定義にダルブー積分（厳密にはリーマンの可積分条件）を用いるものである。すなわち、リーマン可積分とは、適当な分割を選べば上ダルブー和と下ダルブー和の差がいくらでも小さくできることをいう。 ルベーグの条件の必要性は、振幅による連続性の定義を用いれば非常に簡潔に示せる。f の不連続点集合が正の測度を持つならば、適当な正の数 ε に対して f が少なくとも ε の振幅を持つような集合 Xε で測度が m(Xε) > 0 となるようなものが存在するから、f の上積分と下積分との差は ε⋅m(Xε) よりも大きい。 ルベーグの条件が十分であることの証明は直接的だが多少長くなる。f が殆ど至る所連続ならば、有界閉区間 I の任意の分割に対して、まずその分割を二つの区間族 C, D に分け、D が全ての不連続点を含み、C には不連続点が含まれないようにする。直観的には、D は「幅」を任意に小さく、他方 C は「高さ」を任意に小さくすることができる。これをきちんと書けば、任意の正の数 ε に対し D の適当な再分割で、長さの総計が高々 ε であるような区間族が全ての不連続点を含むようなものが取れる。従って、D 上の上ダルブー和と下ダルブー和の差は ε(M − m) で抑えられる（但し、m および M はそれぞれ f の下限および上限）。ここで、函数の有界性、およびコンパクト集合上でジョルダン測度が 0 であることとルベーグ測度が 0 であることが同値になる（従って有限分割が使える）ことを用いた。残りの C の上では函数は有界閉区間上の連続函数で、従って一様連続になるから、分割 C の再分割で、その各区間上で f が高々 ε しか変化しないようなものが取れる。従って上ダルブー和と下ダルブー和の差は高々 ε|I| である（ここでコンパクト性を用いた）。以上から、差の合計 ε((M − m) + |I|) =: Kε は ε の定数倍で、これはいくらでも小さくすることができるから、この函数がリーマン可積分であることがわかる。 有界集合の指示函数がリーマン可積分であるための必要十分条件は、その集合がジョルダン可測となることである。 閉区間 I 上の実数値単調函数は、不連続点集合が可算（つまりルベーグ測度が 0）であるから、リーマン可積分である。 閉区間 I 上の実数値函数がリーマン可積分ならば、ルベーグ可積分でもある。つまり、リーマン可積分性はルベーグ可積分性よりも「強い」（つまり満たすことが難しい）条件である。 {fn} を閉区間 I 上の一様収束列で、その極限を f とするとき、すべての fn がリーマン可積分であるならば f もまたリーマン可積分で ∫ I f d x = ∫ I ( lim n → ∞ f n ) d x = lim n → ∞ ∫ I f n d x {\displaystyle \int _{I}f\,dx=\int _{I}(\lim _{n\to \infty }f_{n})dx=\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}\,dx} が成立する。しかし、（点ごとの収束が単調なときの）ルベーグの単調収束定理は成り立たない。
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可積分性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/08 02:35 UTC 版)
詳細は「可積分性（ドイツ語版）」を参照 各全微分 A = df は 1-形式である。即ち A ( p ) = ∑ i = 1 n a i ( p ) d x i {\displaystyle A(p)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(p)\,{\mathit {dx}}^{i}} と表示できる。微分形式の解析学においてカルタン微分 dA は 2-形式 d A ( p ) = ∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n [ ∂ a j ∂ x i ( p ) − ∂ a i ∂ x j ( p ) ] d x i ∧ d x j {\displaystyle {\mathit {dA}}(p)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}\left[{\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}(p)-{\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}(p)\right]{\mathit {dx}}^{i}\wedge {\mathit {dx}}^{j}} である。A が実際に C2-級函数 f の全微分 df であるとき、即ち ai = ∂f⁄∂xi のとき二階微分の対称性により d A ( p ) = ∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n [ ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j ( p ) − ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i ( p ) ] d x i ∧ d x j = 0 {\displaystyle {\mathit {dA}}(p)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(p)-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}(p)\right]{\mathit {dx}}^{i}\wedge {\mathit {dx}}^{j}=0} が成り立つ。 局所的には常にこの逆が成り立つ: 1-形式 A が dA = 0 を満足するならば、その点の適当な近傍において A の原始函数、すなわち可微分函数 f で A = df を満足するものが存在する。 ゆえに dA = 0 を可積分条件と呼ぶことがある。これは具体的には任意の i, j に対して ∂ a j ∂ x i = ∂ a i ∂ x j {\displaystyle {\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}} , あるいは ∂ a j ∂ x i − ∂ a i ∂ x j ≡ 0 {\displaystyle {\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}\equiv 0} が成り立つことである。 多くの場合には、さらに大域的な原始函数が存在して A はその全微分になる。これは例えば、微分形式がRn の領域、より一般には星型あるいは単連結領域上で定義される場合などである。 多様体 M 上の任意の 1-形式が可積分条件を満たす（つまり、原始函数を持ちその全微分となる）という主張は、一次のド・ラムコホモロジー群（ドイツ語版） H1dR(M) が自明であることと同値である。
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