可積分関数に対する定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:25 UTC 版)
「フーリエ変換」の記事における「可積分関数に対する定義」の解説
可積分関数 f: R → C のフーリエ変換の定義として、よく用いられるものにもいくつか異なる流儀がある。本項では f ^ ( ξ ) := ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x {\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx} を定義として用いる。ここでギリシャ文字小文字の ξ は任意の実数である。 対象の関数における独立変数が物理量の場合、フーリエ変換は独立変数の次元をもとの逆数に移す。例えば、変換前の関数における独立変数 x が時間の次元をもつとき、変換後の独立変数 ξ は周波数の次元を持つ。あるいは、変換前の独立変数 x が長さの次元をもつとき、変換後の独立変数 ξ は波数の次元を持つ。この性質は定義より x ξ が無次元量であることから従う。 適当な条件のもと、f はその変換 ^f からフーリエ逆変換 (inverse transform) f ( x ) := ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ξ ) e 2 π i x ξ d ξ {\displaystyle f(x):=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,d\xi } によって復元することができる（x は任意の実数）。 他の定義や記法については後述する。
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