可積分函数に対するフビニの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/22 10:57 UTC 版)
「フビニの定理」の記事における「可積分函数に対するフビニの定理」の解説
X と Y を測度空間とし、X × Y を与えられた極大積測度（X と Y が σ-有限であるなら、それは唯一つの積測度となる）とする。フビニの定理では、f(x,y) が X × Y 可積分であるなら、すなわち可測かつ ∫ X × Y | f ( x , y ) | d ( x , y ) < ∞ {\displaystyle \int _{X\times Y}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty } が有限であるなら、次が成立すると述べられている。 ∫ X ( ∫ Y f ( x , y ) d y ) d x = ∫ Y ( ∫ X f ( x , y ) d x ) d y = ∫ X × Y f ( x , y ) d ( x , y ) . {\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,dy\right)dx=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,dx\right)dy=\int _{X\times Y}f(x,y)\,d(x,y).} この式のはじめの二つの積分は、それぞれ二つの測度に関する逐次積分であり、三つ目の積分はそれら二つの測度の極大積に関する積分である。上記に現れる各偏積分 ∫ Y f ( x , y ) d y , ∫ X f ( x , y ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{Y}f(x,y)\,dy,\int _{X}f(x,y)\,dx} は至る所で定義されている必要はない。実際、それらが定義されない点は測度 0 の集合を構成するため、このことは問題とならない。 上述の、絶対値に関する積分が有限でないなら、上式の二つの逐次積分は実際に異なる値を取りうる。そのような可能性については、後述の内容を参照されたい。 フビニの定理はしばしば、X と Y は σ-有限であるという仮定が初めから置かれ、そのような場合、積測度は極大であるという仮定は必要なくなる（実際、極大積測度が唯一つの積測度となるため）。空間が σ-有限でないなら、フビニの定理が成立しないような異なる積測度が存在する可能性もある。例えば、ある積測度と非負可測函数 f に対して、|f| の二重積分はゼロとなるが二つの逐次積分は異なる値となることが起こり得る（後述の、反例に関する節を参照）。ある非極大積測度に対するフビニの定理の技巧的な一般化も存在する。このことについては (Fremlin 2003) を参照されたい。トネリの定理およびフビニ＝トネリの定理は、非 σ-有限空間上では極大積測度に対してでさえも成立しないことがある。しかし実際の場合、フビニの定理を使う対象となるほとんど全ての測度空間は、σ-有限である。
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