フビニ＝トネリの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/22 10:57 UTC 版)
「フビニの定理」の記事における「フビニ＝トネリの定理」の解説
フビニの定理とトネリの定理を組み合わせることで、フビニ＝トネリの定理（しばしばフビニの定理と省略して呼ばれる）が得られる。その定理では、X と Y が σ-有限測度（英語版）であり、f は以下の三つの積分 ∫ X ( ∫ Y | f ( x , y ) | d y ) d x {\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x} ∫ Y ( ∫ X | f ( x , y ) | d x ) d y {\displaystyle \int _{Y}\left(\int _{X}|f(x,y)|\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y} ∫ X × Y | f ( x , y ) | d ( x , y ) {\displaystyle \int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)} のいずれかが有界であるような可測函数であるなら、次の等式が成立することが述べられている。 ∫ X ( ∫ Y f ( x , y ) d y ) d x = ∫ Y ( ∫ X f ( x , y ) d x ) d y = ∫ X × Y f ( x , y ) d ( x , y ) . {\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).} 上述の条件式における f の絶対値は、f の正あるいは負の部分で置き換えることが出来る。非負函数の負の部分はゼロであり、積分は有限となることから、そのような置き換えはトネリの定理を含むものであることが分かる。非公式的に、それらの条件が満たされるなら f の二重積分は（無限となることもあるが）well defined と呼ばれる。 フビニの定理に対してフビニ＝トネリの定理を用いることの利点は、絶対値 |f| の逐次積分は二重積分よりも容易に研究できることがあることである。フビニの定理におけるように、単一の積分は測度 0 の集合上で定義されないこともある。
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