σ-有限測度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/05 13:59 UTC 版)
測度空間 Ω が有限であるというのは、μ (Ω) が有限値であることである。また、Ω が測度有限なる可測集合の可算和で表されるとき、Ω は σ -有限であるという。測度空間に属する集合は、それが測度有限なる可測集合の可算和であるとき σ -有限測度を持つという。 例えば、実数全体の集合に標準ルベーグ測度を考えた測度空間は σ -有限であるが、有限ではない。実際に、任意の整数 k に対して 閉区間 [k , k + 1] を考えると、これらは可算個であり、それぞれ測度 1 であって、和集合を考えれば実数直線を尽くす。 対して、実数全体の集合に数え上げ測度を考える。これは、実数からなる有限集合に、その集合に入る点の数を対応させるものである。この測度空間は σ -有限でない。なぜなら、どの測度有限な集合も有限個の点しか持たないのであって、その可算個の和集合は高々可算であるので、非可算集合である数直線を被覆し尽くすことができないからである。 σ -有限な測度空間は非常によい性質を持っている; σ -有限性は位相空間の可分性になぞらえることができる.
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