測度の完備化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/02 21:26 UTC 版)
詳細は「完備測度」を参照 測度が誘導する内測度は、同じく測度が誘導する外測度と組み合わせることで、測度が定義される集合をより大きな完全加法族に取り換えることにしばしば利用される。 集合 X 上の「有限」測度 μ が完全加法族 Σ 上定義されているとし、それぞれ対応する外測度および内測度をμ* および μ∗ とすれば、μ∗(T) = μ*(T) を満たす T ∈ 2X の全体は完全加法族 ^Σ を成し、明らかに Σ ⊂ ^Σ である。このとき μ ^ ( T ) = μ ∗ ( T ) = μ ∗ ( T ) ( ∀ T ∈ Σ ^ ) {\displaystyle {\hat {\mu }}(T)=\mu ^{*}(T)=\mu _{*}(T)\quad (\forall T\in {\hat {\Sigma }})} と置いて得られる測度 ^μ を μ の完備化と呼ぶ。 有限でない測度であっても、条件 μ∗(T) = μ*(T) は「両辺とも ∞ となる」という意味で成り立っていても構わないから、同様の完備化を考えることができる。特に σ-有限測度（英語版）の完備化は応用上重要である。
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