測度による構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/08 18:40 UTC 版)
「ルベーグ＝スティルチェス積分」の記事における「測度による構成」の解説
手始めに、f が非負で g が右連続単調非減少のとき、測度 w を w ( ( s , t ] ) := g ( t ) − g ( s ) , w ( { a } ) := 0 {\displaystyle w((s,t]):=g(t)-g(s),\quad w(\{a\}):=0} と定める（g が左連続の場合には、w([s,t)) := g(t) − g(s) かつ w({b}) := 0 とおくと同様の議論ができる）。 カラテオドリの拡張定理により、[a, b] 上のボレル測度 μg で任意の区間 I 上で w に一致するものがただ一つ存在する。この測度は外測度（実は計量外測度）から μ g ( E ) = inf { ∑ i μ g ( I i ) ∣ E ⊂ ⋃ i I i } {\displaystyle \mu _{g}(E)=\inf {\Big \{}\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\mid E\subset \bigcup _{i}I_{i}{\Bigr \}}} と定めることによって得られる。右辺の下限は E の可算個の半開区間からなる被覆全体を亘ってとる。この測度をしばしば g に付随するルベーグ＝スティルチェス測度と呼ぶ。このとき、ルベーグ＝スティルチェス積分 ∫ a b f ( x ) d g ( x ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)} は測度 μg に関する f の通常のルベーグ式の積分として定義される。g が非増大の場合には ∫ a b f d g := − ∫ a b f d ( − g ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dg:=-\int _{a}^{b}f\,d(-g)} と置いて非減少函数の場合に帰着する（非減少な −g に対して先ほどの構成を適用すればよい）。 一般の有界変動函数 g と有界函数 f の場合には、g を区間 [a, x] における g の全変動 g1 := Vxa g および g2 := g1 − g(x) を用いて g ( x ) = g 1 ( x ) − g 2 ( x ) {\displaystyle g(x)=g_{1}(x)-g_{2}(x)} と分解すれば、g1 および g2 は共に単調非減少となり、先ほどの構成を適用できるから、結局 g に関するルベーグ＝スティルチェス積分を ∫ a b f d g = ∫ a b f d g 1 − ∫ a b f d g 2 {\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dg=\int _{a}^{b}f\,dg_{1}-\int _{a}^{b}f\,dg_{2}} で定めることができる。
※この「測度による構成」の解説は、「ルベーグ＝スティルチェス積分」の解説の一部です。
「測度による構成」を含む「ルベーグ＝スティルチェス積分」の記事については、「ルベーグ＝スティルチェス積分」の概要を参照ください。
- 測度による構成のページへのリンク
