測度との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/31 09:19 UTC 版)
「多様体の密度（英語版）(Density on a manifold)」も参照 向きつけられた多様体上の体積形式 ω が与えられると、密度（英語版）(density) |ω| は、向きつけを忘れることにより得られる向き付け不可能な多様体上の体積擬形式（英語版）(pseudo-form)である。密度は、より一般的な向き付け不可能な多様体上でも定義することができる。 任意の体積擬形式 ω （と、従って任意の体積形式）は、 μ ω ( U ) = ∫ U ω . {\displaystyle \mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .\,\!} によりボレル集合上の測度を定義する。 体積形式との差異は、測度は（ボレル）部分集合上で積分できることに対し、体積形式は向き付けられた胞体上でしか積分することができないことである。一変数のときの計算は、 ∫ b a f d x = − ∫ a b f d x {\displaystyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx} と書くことは、 d x {\displaystyle dx} を体積形式と考えることができたが、測度の場合は単純ではなく、 ∫ b a {\displaystyle \int _{b}^{a}} は反対の向き付けを持つ胞体 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} での積分を意味し、ときには [ a , b ] ¯ {\displaystyle {\overline {[a,b]}}} と書かれることもある。 さらに、一般の測度は連続であったり、滑らかであったりする必要もない。測度は体積形式により定義されている必要がなく、より公式な言い方をすると、測度のラドン＝ニコディム微分が与えられた体積形式について絶対連続である必要もない。
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