測度として
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/12 04:16 UTC 版)
exp ( − β H ( x 1 , x 2 , … ) ) {\displaystyle \exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)} の値は、系の中で値 ( x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )} を取る特定の構成空間(configuration space)の近傍と解釈することができる。従って、特定の構成 ( x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )} が与えられると、 P ( x 1 , x 2 , … ) = 1 Z ( β ) exp ( − β H ( x 1 , x 2 , … ) ) {\displaystyle P(x_{1},x_{2},\dots )={\frac {1}{Z(\beta )}}\exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)} は、系で発生する構成 ( x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )} の確率密度函数であり、ここで 0 ≤ P ( x 1 , x 2 , … ) ≤ 1 {\displaystyle 0\leq P(x_{1},x_{2},\dots )\leq 1} となるように正規化すると、すべての構成の和を取ると結果が 1 となる。このようにして、分配函数は確率空間上に、測度（正確には、確率測度）をもたらすことが分かる。形式的には、この測度をギップス測度（英語版）(Gibbs measure)と呼ぶ。統計力学では、ギッブス測度がグランドカノニカル集団とカノニカル集団の上へ一般化される。 少なくとの一つは構成 ( x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )} が確率を最大とするものとして存在する。この構成は、便宜上、基底状態と呼ばれる。構成が一意的であれば、基底状態は非退化(non-degenerate)と言われ、系はエルゴード的（英語版）と呼ぶ。そうでない場合の基底状態を退化していると呼ばれ、基底状態は、対称性の生成子と可換かもしれないし、非可換かもしれない。可換であれば、不変測度と呼ばれる。非可換の場合は、対称性が自発的に対称性が破れていると呼ばれる。 基底状態が一意に存在する条件は、カルーシュ・クーン・タッカー条件によって与えられる。これらの条件は、ギッブス測度を使い、最大エントロピー問題で評価される。
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