コンパクト群のヒルベルト環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/04/23 09:57 UTC 版)
「類関数」の記事における「コンパクト群のヒルベルト環」の解説
「位相群の群環」も参照 G をコンパクト群（英語版）として、その上のハール測度 λ を平行移動不変な唯一の確率測度として定義する。L2(G) は G 上の自乗 λ-可積分函数全体の成すヒルベルト空間とすれば、この空間上に以下の二つの演算を入れることができる: 結合的、分配的で定数函数 1 を単位元とする畳み込み積 対合 これらにより L2(G) は対合バナハ環となり、さらにヒルベルト環（ドイツ語版、英語版）を成す。この環に関する研究は G の連続表現に関係する（ピーター–ワイルの定理（英語版）を参照）。 この関係性は L2(G) の中心を通じて示される。実際、直接計算により可測函数 f, g が自乗可積分ならば であり、また函数 f が L2(G) の中心に入る必要十分条件は、任意の g ∊ L2(G) に対して二つの畳み込み f ∗ g と g ∗ f が殆ど至る所一致することだが、これらは連続ゆえ至る所一致する。したがってこれは G の任意の u, v に対して f(uv) = f(vu) と同値である。 L2(G) の中心は、G 上の自乗可積分かつ中心的な可測函数（の類）全体の成す閉部分空間である。
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