コンパクト空間における一様連続性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/06 17:38 UTC 版)
「一様連続」の記事における「コンパクト空間における一様連続性」の解説
「ハイネ・カントールの定理」も参照 定理 ― f: X → Y をコンパクトな一様空間 X から一様空間 Y への写像とする。このときf が連続なら一様連続である。 定理で X も Y も距離空間である場合の証明はコンパクト空間の項目に記載されている。 一般の場合の証明は以下のとおりである。（証明中で使われている用語や記号の説明は一様空間の項目を参照。）なお基本的なアイデアは距離空間の場合の証明と同一である。 近縁V∈Y × Y を任意に固定する。すると一様空間の性質より、以下の性質を満たす近縁 V ~ {\displaystyle {\tilde {V}}} が存在する： 任意のy1, y2, y3 ∈ Y に対し、 ( y 1 , y 2 ) , ( y 2 , y 3 ) ∈ V ~ ⇒ ( y 1 , y 3 ) ∈ V {\displaystyle (y_{1},y_{2}),(y_{2},y_{3})\in {\tilde {V}}\Rightarrow (y_{1},y_{3})\in V} ...(1) 一様空間Y 上の位相の定義より、 V ~ [ f ( x ) ] ∩ V ~ − 1 [ f ( x ) ] {\displaystyle {\tilde {V}}[f(x)]\cap {\tilde {V}}^{-1}[f(x)]} はY の開集合なので、f の連続性により、任意のx ∈ Xに対しx のある近傍Wが存在し、 f ( W ) ⊂ V ~ [ f ( x ) ] ∩ V ~ − 1 [ f ( x ) ] {\displaystyle f(W)\subset {\tilde {V}}[f(x)]\cap {\tilde {V}}^{-1}[f(x)]} が成立する。一様空間X 上の位相の定義より、(x に依存した)X のある近縁 U x {\displaystyle U_{x}} が存在し、 U x [ x ] ⊂ W {\displaystyle U_{x}[x]\subset W} が成立する。したがって f ( U x [ x ] ) ⊂ f ( V ~ [ f ( y ) ] ∩ V ~ − 1 [ f ( x ) ] ) {\displaystyle f(U_{x}[x])\subset f({\tilde {V}}[f(y)]\cap {\tilde {V}}^{-1}[f(x)])} ...(2) が成立する。 再び一様空間の性質より、各x ∈X に対し以下の性質を満たす近縁 U ~ x {\displaystyle {\tilde {U}}_{x}} が存在する： 任意のw 1、w 2、w 3∈X に対し、 ( w 1 , w 2 ) , ( w 2 , w 3 ) ∈ V ~ ⇒ ( w 1 , w 3 ) ∈ V {\displaystyle (w_{1},w_{2}),(w_{2},w_{3})\in {\tilde {V}}\Rightarrow (w_{1},w_{3})\in V} ...(3) { U ~ x [ x ] } x ∈ X {\displaystyle \{{\tilde {U}}_{x}[x]\}_{x\in X}} は明らかにX を被覆するので、X のコンパクト性より、 有限部分族 { U ~ x i [ x i ] } i = 1 , … , n {\displaystyle \{{\tilde {U}}_{x_{i}}[x_{i}]\}_{i=1,\ldots ,n}} でX を被覆するものがある...(4) 一様空間の定義より有限個の近縁のUNIONは近縁なので、 W = d e f ⋂ i = 1 , … , n U ~ x i {\displaystyle W{\underset {\mathrm {def} }{=}}\bigcap _{i=1,\ldots ,n}{\tilde {U}}_{x_{i}}} はX の近縁である。この近縁W が性質 f ( W ) ⊂ V {\displaystyle f(W)\subset V} ...(*) を満たしていれば、V の任意性によりf の一様連続性が言える。 そこで最後に(*)を示す。任意に ( z , w ) ∈ W {\displaystyle (z,w)\in W} を選び固定する。(4)より、 w ∈ U ~ x j [ x j ] {\displaystyle w\in {\tilde {U}}_{x_{j}}[x_{j}]} を満たすj が存在する。すなわち ( w , x j ) ∈ U ~ x j {\displaystyle (w,x_{j})\in {\tilde {U}}_{x_{j}}} 。 W の定義より ( z , w ) ∈ U ~ x j {\displaystyle (z,w)\in {\tilde {U}}_{x_{j}}} を満たすので(3)より ( z , x j ) ∈ U x j {\displaystyle (z,x_{j})\in U_{x_{j}}} 、すなわち z ∈ U x j [ x j ] {\displaystyle z\in U_{x_{j}}[x_{j}]} が成立する。 以上で z ∈ U x j [ x j ] {\displaystyle z\in U_{x_{j}}[x_{j}]} 、 w ∈ U ~ x j [ x j ] ⊂ U x j [ x j ] {\displaystyle w\in {\tilde {U}}_{x_{j}}[x_{j}]\subset U_{x_{j}}[x_{j}]} が示されたので、(2)より f ( z ) , f ( w ) ∈ V ~ [ f ( x j ) ] ∩ V ~ − 1 [ f ( x j ) ] {\displaystyle f(z),f(w)\in {\tilde {V}}[f(x_{j})]\cap {\tilde {V}}^{-1}[f(x_{j})]} 。したがって(1)より ( f ( z ) , f ( w ) ) ∈ V {\displaystyle (f(z),f(w))\in V} 。すなわち(*)が示され、その結果としてf の一様連続性が示された。□
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