コンパクト性定理による方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 08:27 UTC 版)
「算術の超準モデル」の記事における「コンパクト性定理による方法」の解説
コンパクト性定理を用いて超準モデルの存在を示すことができる。証明の概略は、 c {\displaystyle c} を新たな定数として、ペアノの公理系 P A {\displaystyle \mathrm {PA} } に { n < c : n = 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \{n<c:n=1,2,3,...\}} という形の無限個の公理を付け加えた公理系 P A ∗ {\displaystyle \mathrm {PA} ^{\ast }} を考え、コンパクト性定理により P A ∗ {\displaystyle \mathrm {PA} ^{\ast }} を満たすモデル N ∗ {\displaystyle \mathbb {N} ^{\ast }} の存在を示すというものである。 P A ∗ {\displaystyle \mathrm {PA} ^{\ast }} はペアノの公理系を拡張したものであるため、当然ペアノの公理を満たしている。また通常の自然数では定数 c {\displaystyle c} をいかように解釈しても P A ∗ {\displaystyle \mathrm {PA} ^{\ast }} を満たすようにはできないため、 c {\displaystyle c} は超準数であり、 N ∗ {\displaystyle \mathbb {N} ^{\ast }} は超準モデルとなる。 P A ∗ {\displaystyle \mathrm {PA} ^{\ast }} にコンパクト性定理を適用するには、その任意の有限部分 T {\displaystyle T} がモデルを持つことを示せばよい。 T {\displaystyle T} は P A {\displaystyle \mathrm {PA} } の部分集合に n 1 < c , n 2 < c , … , n m < c {\displaystyle n_{1}<c,n_{2}<c,\ldots ,n_{m}<c} （ n 1 < n 2 < ⋯ < n m {\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots <n_{m}} ）という有限個の公理を付け加えた形をしているため、 c {\displaystyle c} の解釈を n m + 1 {\displaystyle n_{m}+1} と定めれば、自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} } が T {\displaystyle T} のモデルになっていることが言える。
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