コンパクト性への応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/29 17:06 UTC 版)
普遍有向点族の概念を用いると、コンパクト性はさらに簡単に特徴づける事ができる： 定理(コンパクト性の普遍有向点族による特徴づけ)位相空間X がコンパクトである必要十分条件は、X 上の任意の普遍有向点族が収束する事である。 なお、上述したコンパクト性の普遍有向点列による特徴づけを用いると、チコノフの定理（＝コンパクト空間の直積はコンパクト）がほぼ自明に従う。証明は以下のとおりである。まず複数の位相空間の直積 Y = ∏ α X α {\displaystyle Y=\prod _{\alpha }X_{\alpha }} 上の有向点族がY の点y に収束する必要十分条件は明らかに有向点族の各Xαへの射影がy のXαへの射影へ収束する事である。 よって 全てのXαがコンパクト⇒任意のαに対し、Xα上の普遍有向点族は収束する⇒直積Y 上の普遍有向点族は収束する⇒Y はコンパクト。 すなわちチコノフの定理が言えた。
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